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Exercice 6

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Implication - Contraposée - Négation Niveau : Moyen

6 Étude d'une implication

On considère l'implication suivante :

$P(a,b) : a + b + ab + 1 = 0 \Rightarrow (a = -1 \text{ ou } b = -1)$

Déterminer l'implication contraposée de $P(a,b)$.

✅ Solution

Contraposée : $P'(a,b) : (a \neq -1 \text{ et } b \neq -1) \Rightarrow a + b + ab + 1 \neq 0$

(On utilise $\neg(A \text{ ou } B) \equiv \neg A \text{ et } \neg B$)

Déterminer la négation de $P(a,b)$.

✅ Solution

Négation :

$\neg P(a,b) : a + b + ab + 1 = 0 \text{ et } a \neq -1 \text{ et } b \neq -1$

(On utilise $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \text{ et } \neg B$)
et $\neg(a = -1 \text{ ou } b = -1) \equiv a \neq -1 \text{ et } b \neq -1$

Montrer que $P(a,b)$ est une implication vraie.

✅ Solution

On a : $a + b + ab + 1 = 0$

On réarrange : $a + 1 + b + ab = 0$

On factorise : $(a+1) + b(a+1) = 0$

Donc : $(a+1)(1+b) = 0$

D'où : $a+1 = 0$ ou $b+1 = 0$

Alors : $a = -1$ ou $b = -1$

Conclusion : L'implication $P(a,b)$ est vraie.

7 Étude d'une implication avec quantificateurs

On considère l'implication suivante :

$P : \forall x \in [0,+\infty[, \forall y \in [1,+\infty[ :$
$\left(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)\right) \Rightarrow (x = 1 \text{ et } y = 2)$

Écrire $P$ sans utiliser le connecteur $\Rightarrow$.

✅ Solution

$\forall x \in [0,+\infty[, \forall y \in [1,+\infty[ :$
$\left(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 \neq \frac{1}{2}(x + y + 1)\right) \text{ ou } (x = 1 \text{ et } y = 2)$

(On utilise $A \Rightarrow B \equiv \neg A \text{ ou } B$)

Déterminer la négation de $P$.

✅ Solution

$\exists x \in [0,+\infty[, \exists y \in [1,+\infty[ :$
$\left(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)\right) \text{ et } (x \neq 1 \text{ ou } y \neq 2)$

(On utilise $\neg(\forall) \equiv \exists$ et $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \text{ et } \neg B$)

Déterminer l'implication contraposée de $P$.

✅ Solution

$\forall x \in [0,+\infty[, \forall y \in [1,+\infty[ :$
$(x \neq 1 \text{ ou } y \neq 2) \Rightarrow \left(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 \neq \frac{1}{2}(x + y + 1)\right)$

Déterminer la valeur de vérité de $P$.

✅ Solution

Valeur de vérité : Vrai

On a : $\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)$

On multiplie par 2 : $2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} - 2 = x + y + 1$

On réarrange : $x - 2\sqrt{x} + y - 2\sqrt{y} + 3 = 0$

On factorise : $(\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y} - 1)^2 + 1 = 0$

Donc : $(\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y} - 1)^2 = -1$

Or : une somme de carrés est toujours $\geq 0$, elle ne peut jamais valoir $-1$

Donc : l'hypothèse est toujours fausse (aucune solution)

Puisque : une implication d'hypothèse toujours fausse est toujours vraie (vraie par vacuité)

Conclusion : $P$ est Vraie.

Exercice 5 Exercice 7