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Exercice 5

Lois logiques Niveau : Moyen

5 Lois logiques

Étudier, par deux méthodes différentes, si chaque proposition est une loi logique (tautologie).

$p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$

✅ Solution

Méthode 1 - Table de vérité :

$p$	$q$	$q \Rightarrow p$	$p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	F	V
F	F	V	V

Méthode 2 - Équivalences :

On a : $p \Rightarrow (q \Rightarrow p) \equiv \neg p \lor (\neg q \lor p)$

Donc : $\equiv (\neg p \lor p) \lor \neg q$

D'où : $\equiv V \lor \neg q \equiv V$

Conclusion : C'est une tautologie.

$p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$

✅ Solution

Méthode 1 - Table de vérité :

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

On remarque : pour $p=V$ et $q=F$, la proposition est fausse

Conclusion : Ce n'est pas une loi logique.

$(\neg p \Rightarrow q) \Rightarrow p$

✅ Solution

Méthode 1 - Table de vérité :

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p \Rightarrow q$	$(\neg p \Rightarrow q) \Rightarrow p$
V	V	F	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	V	F
F	F	V	F	V

On remarque : pour $p=F$ et $q=V$, la proposition est fausse

Conclusion : Ce n'est pas une loi logique.

Disjonction des cas : Montrer que :

$\forall n \in \mathbb{N}, \frac{n(n^2+1)}{2} \in \mathbb{N}$

✅ Solution

Cas 1 : $n$ est pair ($n = 2k$)

On a : $\frac{n(n^2+1)}{2} = \frac{2k(4k^2+1)}{2} = k(4k^2+1) \in \mathbb{N}$

Cas 2 : $n$ est impair ($n = 2k+1$)

On a : $n^2+1 = (2k+1)^2+1 = 4k^2+4k+2 = 2(2k^2+2k+1)$

Donc : $\frac{n(n^2+1)}{2} = n(2k^2+2k+1) \in \mathbb{N}$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Équivalences successives : Montrer que :

$(p \Rightarrow (q \Rightarrow r)) \Leftrightarrow ((p \land q) \Rightarrow r)$

✅ Solution

On a : $p \Rightarrow (q \Rightarrow r)$

Par définition de $\Rightarrow$ : $\equiv \neg p \lor (\neg q \lor r)$

Par associativité de $\lor$ : $\equiv (\neg p \lor \neg q) \lor r$

Par loi de De Morgan : $\equiv \neg(p \land q) \lor r$

D'où : $\equiv (p \land q) \Rightarrow r$

Conclusion : Les deux propositions sont équivalentes.

Soient $x, y \in \mathbb{R}^+$, montrer que :

$x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1$

✅ Solution

On a : $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}$

On réécrit : $x - 2\sqrt{x} + 1 + y - 2\sqrt{y} + 1 = 0$

On factorise : $(\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y} - 1)^2 = 0$

Puisque : $(\sqrt{x} - 1)^2 \geq 0$ et $(\sqrt{y} - 1)^2 \geq 0$

Alors : $(\sqrt{x} - 1)^2 = 0$ et $(\sqrt{y} - 1)^2 = 0$

D'où : $\sqrt{x} = 1$ et $\sqrt{y} = 1$

Donc : $x = 1$ et $y = 1$

Conclusion : $x = y = 1$.

Exercice 4 Exercice 6