Exercice 7

a.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $3^{n+2} + 2^{n+4}$ est divisible par 5.

✅ Solution

Vérification à $n=0$ :

On calcule : $3^{2} + 2^{4} = 9 + 16 = 25 = 5 \times 5$ ✅ (divisible par 5)

Vérification à $n=1$ :

On calcule : $3^{3} + 2^{5} = 27 + 32 = 59$ (59 n'est pas divisible par 5)

La propriété est vraie pour $n=0$ mais fausse pour $n=1$ : elle n'est donc pas vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. La récurrence ne peut pas fonctionner ici, car l'hérédité échoue (essayer de la "forcer" mènerait à une étape fausse).

Conclusion : La propriété est fausse ($n=1$ est un contre-exemple).

b.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $3^{n+2} + 2^{n+4}$ est divisible par 5.

✅ Solution

Initialisation : $n=1$

On calcule : $3^{3} + 2^{5} = 27 + 32 = 59$

Or : 59 n'est pas divisible par 5

Conclusion : La propriété est fausse pour $n=1$, donc fausse sur $\mathbb{N}^*$.

(Comme en (a), la propriété n'est vraie qu'à $n=0$ ; c'est un cas isolé, pas une propriété valable pour tout $n$.)

c.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, 3 divise $4n^3 - n$.

✅ Solution

Initialisation : $n=1$

On calcule : $4(1)^3 - 1 = 4 - 1 = 3$, divisible par 3 ✅

Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : 4n^3 - n = 3k$

On développe : $4(n+1)^3 - (n+1) = 4(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n - 1$

On réécrit : $= (4n^3 - n) + 12n^2 + 12n + 3$

On remplace : $= 3k + 3(4n^2 + 4n + 1)$

D'où : $= 3(k + 4n^2 + 4n + 1)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

d.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, 8 divise $1 + 5^{n+1} + 2 \times 3^n$.

✅ Solution

Initialisation : $n=0$

On calcule : $1 + 5^{1} + 2 \times 3^{0} = 1 + 5 + 2 = 8$, divisible par 8 ✅

Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : 1 + 5^{n+1} + 2 \times 3^n = 8k$

On développe : $1 + 5^{n+2} + 2 \times 3^{n+1}$

On réécrit : $= (1 + 5^{n+1} + 2 \times 3^n) + (5^{n+2} - 5^{n+1}) + 2(3^{n+1} - 3^n)$

On remplace : $= 8k + 5^{n+1}(5-1) + 2 \times 3^n(3-1)$

Donc : $= 8k + 4 \times 5^{n+1} + 4 \times 3^n$

On factorise : $= 8k + 4(5^{n+1} + 3^n)$

Or : $5^{n+1}$ est impair et $3^n$ est impair, donc leur somme est paire, on pose $5^{n+1} + 3^n = 2m$

D'où : $= 8k + 4(2m) = 8(k + m)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

e.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, 9 divise $4^n + 6n - 1$.

✅ Solution

Initialisation : $n=0$

On calcule : $4^0 + 6(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$, divisible par 9 ✅

Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : 4^n + 6n - 1 = 9k$

On développe : $4^{n+1} + 6(n+1) - 1 = 4 \times 4^n + 6n + 6 - 1$

On réécrit : $= 4(4^n + 6n - 1) - 18n + 9$

On remplace : $= 4(9k) - 9(2n - 1)$

D'où : $= 9(4k - 2n + 1)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

f.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, 17 divise $3 \times 5^{2n+1} + 2^{3n+1}$.

✅ Solution

Initialisation : $n=0$

On calcule : $3 \times 5^{1} + 2^{1} = 15 + 2 = 17$, divisible par 17 ✅

Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : 3 \times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 17k$

On développe : $3 \times 5^{2n+3} + 2^{3n+4}$

On réécrit : $= 25 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8 \times 2^{3n+1}$

On sépare $25=17+8$ : $= 17 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8 \times 2^{3n+1}$

On regroupe : $= 17 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8(3 \times 5^{2n+1} + 2^{3n+1})$

Par hérédité : $= 17 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8 \times 17k$

D'où : $= 17(3 \times 5^{2n+1} + 8k)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8 Récurrence - Partie 1