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Exercice 4

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Raisonnement Niveau : Moyen

4 Méthodes de raisonnement

Utiliser différentes méthodes de raisonnement pour démontrer les propositions suivantes.

Contre-exemple : Montrer que la relation suivante est fausse.

$\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : xy = 2$

✅ Solution

Contre-exemple : $x = 0$

On a : $0 \times y = 0 \neq 2$, quel que soit $y$

Conclusion : La proposition est fausse

Contraposée : Montrer que :

$\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : (x \neq 1 \land y \neq 1) \Rightarrow xy + 1 \neq x + y$

✅ Solution

Contraposée : $xy + 1 = x + y \Rightarrow (x = 1 \text{ ou } y = 1)$

On a : $xy + 1 = x + y$

Donc : $xy + 1 - x - y = 0$

On factorise : $(x-1)(y-1) = 0$

D'où : $x = 1$ ou $y = 1$

Conclusion : La proposition est vraie.

Contraposée : Avec $a,b \in \mathbb{R}$ et $b \neq 2a$, montrer que :

$b \neq \frac{a}{4} \Rightarrow \frac{a+2b}{2a-b} \neq \frac{6}{7}$

✅ Solution

Contraposée : $\frac{a+2b}{2a-b} = \frac{6}{7} \Rightarrow b = \frac{a}{4}$

On a : $\frac{a+2b}{2a-b} = \frac{6}{7}$

On multiplie en croix : $7(a+2b) = 6(2a-b)$

Donc : $7a+14b = 12a-6b$

Alors : $20b = 5a$

D'où : $b = \frac{a}{4}$

Conclusion : La proposition est vraie.

Absurde : Sachant que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, montrer que :

$\forall r \in \mathbb{Q}, r + \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $\exists r \in \mathbb{Q} : r + \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

On pose : $q = r + \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Alors : $\sqrt{2} = q - r$

Or : $q \in \mathbb{Q}$ et $r \in \mathbb{Q} \Rightarrow q-r \in \mathbb{Q}$

Donc : $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l'hypothèse $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

Conclusion : La proposition est vraie.

5a.

Absurde : Montrer que :

$\forall (a,b) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ : a+b=0 \Rightarrow (a=0 \land b=0)$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $a+b=0$ et $(a \neq 0$ ou $b \neq 0)$

On a : $a,b \in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a \geq 0$ et $b \geq 0$

Si : $a > 0$, alors $b = -a < 0$, contradiction avec $b \geq 0$

Si : $b > 0$, alors $a = -b < 0$, contradiction avec $a \geq 0$

Donc : $a=0$ et $b=0$

Conclusion : La proposition est vraie.

5b.

Déduction : Résoudre l'équation :

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$

✅ Solution

On a : $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$

On regroupe : $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$

On factorise : $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$

Puisque : $(x-1)^2 \geq 0$ et $(y+2)^2 \geq 0$

Alors : $(x-1)^2 = 0$ et $(y+2)^2 = 0$

D'où : $x = 1$ et $y = -2$

Conclusion : La solution est $(1, -2)$.

Exercice 3 Exercice 5