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Exercice 3

Valeur de vérité Niveau : Facile

3 Déterminer la valeur de vérité

Déterminer la valeur de vérité (Vrai ou Faux) des propositions suivantes.

$x \in \mathbb{R} ; \left(x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2\right)$

✅ Solution

Valeur : Faux

On a : $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -2$

Or : pour $x=-2$ : $x^2=4$ vraie mais $x=2$ fausse

Donc : l'équivalence $x^2=4 \Leftrightarrow x=2$ est fausse ($x=-2$ est un contre-exemple)

$\left(7 < 5 \text{ et } 2+1=3\right) \text{ ou } \left(-3 \in \mathbb{N}\right)$

✅ Solution

Valeur : Faux

On a : $7 < 5$ : Faux

Et : $2+1=3$ : Vrai

Donc : $(7 < 5 \text{ et } 2+1=3)$ = Faux et Vrai = Faux

On a : $-3 \in \mathbb{N}$ : Faux

Alors : Faux ou Faux = Faux

$\left(7 < 5 \Rightarrow 2+1=0\right) \text{ ou } \left(-3 \in \mathbb{N}\right)$

✅ Solution

Valeur : Vrai

On a : $7 < 5$ : Faux

Et : $2+1=0$ : Faux

Donc : $(7 < 5 \Rightarrow 2+1=0)$ = (Faux $\Rightarrow$ Faux) = Vrai

On a : $-3 \in \mathbb{N}$ : Faux

Alors : Vrai ou Faux = Vrai

$\forall x \in \mathbb{R} ; x^2 \leq x \Rightarrow |x| = x$

✅ Solution

Valeur : Vrai

On a : $x^2 \leq x \Leftrightarrow x(x-1) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [0,1]$

Sur $[0,1]$ : $x \geq 0$, d'où $|x| = x$

Ailleurs : l'hypothèse $x^2 \leq x$ est fausse, donc l'implication est vraie

D'où : dans les deux cas, la proposition est vraie

Exercice 2 Exercice 4