Série 3 - Logique

21 Exercice 21

$n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$

Montrer que $n \times p$ est pair ou $n^2 - p^2$ est un multiple de 8

✅ Solution

Cas 1 : $n$ ou $p$ pair $\Rightarrow n \times p$ pair $\Rightarrow$ proposition vraie

Cas 2 : $n$ et $p$ impairs

Étape 1 : $\exists k,l \in \mathbb{N} : n = 2k+1$, $p = 2l+1$

Étape 2 : $n^2 - p^2 = (n-p)(n+p)$

Étape 3 : $n - p = 2k+1-(2l+1) = 2(k-l)$

Étape 4 : $n + p = 2k+1+2l+1 = 2(k+l+1)$

Donc : $(n-p)(n+p) = 2(k-l) \times 2(k+l+1) = 4(k-l)(k+l+1)$

Étape 5 : $(k-l)+(k+l+1) = 2k+1$ est impair

Donc : $k-l$ et $k+l+1$ ont des parités différentes $\Rightarrow$ l'un des deux est pair

D'où : $(k-l)(k+l+1)$ est pair, on note $(k-l)(k+l+1) = 2m$

Étape 6 : $(n-p)(n+p) = 4 \times 2m = 8m$

Conclusion : dans les 2 cas, $np$ pair ou $n^2-p^2$ multiple de 8 — proposition vraie

22 Exercice 22

$a > 0$ et $b > 0$

$\frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a} \Rightarrow a = b$

✅ Solution

On a : $\frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a}$

Puisque : $1+a>0$ et $1+b>0$, on multiplie en croix

Étape 1 : $a(1+a) = b(1+b)$

Étape 2 : $a + a^2 = b + b^2$

Étape 3 : $a^2 - b^2 + a - b = 0$

On factorise : $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Étape 4 : $(a-b)(a+b) + (a-b) = 0$

Étape 5 : $(a-b)(a+b+1) = 0$

Puisque : $a>0$ et $b>0 \Rightarrow a+b+1 > 0$

D'où : $a - b = 0$

Conclusion : $a = b$

23 Exercice 23

$f(x) = x^2 + 2x$

Montrer qu'il n'existe pas de nombre positif $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $\exists M>0$ tel que $f(x) \leq M$ $\forall x \in \mathbb{R}$

On choisit : $x = M$ (car $M>0 \Rightarrow M \in \mathbb{R}$)

Étape 1 : $f(M) = M^2 + 2M$

Puisque : $M>0 \Rightarrow M^2>0$ et $2M>0$

Donc : $f(M) = M^2+2M > M$

Or : l'hypothèse donne $f(M) \leq M$

D'où : $M < f(M) \leq M$ : contradiction

Conclusion : aucun $M$ ne convient, $f$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$

24 Exercice 24

Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Étape 1 : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p,q \in \mathbb{Z}^*$ et $pgcd(p,q) = 1$ (fraction irréductible)

Étape 2 : $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$

Étape 3 : $p^2$ est pair (multiple de 2)

Or : si $p$ était impair, $p^2$ serait impair — donc $p$ est pair : $p = 2k$

Étape 4 : $p^2 = 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$

Étape 5 : de même, $q^2$ est pair $\Rightarrow q$ est pair

Or : $p$ pair et $q$ pair $\Rightarrow pgcd(p,q) \geq 2$, contradiction avec $pgcd(p,q)=1$

Conclusion : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

25 Exercice 25

$a,b \in \mathbb{Q}$

1)

$a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a = b = 0$

✅ Solution

On a : $a + b\sqrt{2} = 0$

Étape 1 : $a = -b\sqrt{2}$

Si : $b \neq 0$, on divise par $b$ : $\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$

Or : $a,b \in \mathbb{Q} \Rightarrow -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$, donc $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Contradiction : avec le résultat $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (exercice 24)

D'où : $b = 0$

Étape 2 : $a = -b\sqrt{2} = -0 \times \sqrt{2} = 0$

Conclusion : $a = b = 0$

2)

$a + b\sqrt{2} = a' + b'\sqrt{2} \Rightarrow a = a'$ et $b = b'$

✅ Solution

On a : $a + b\sqrt{2} = a' + b'\sqrt{2}$

Étape 1 : $(a-a') + (b-b')\sqrt{2} = 0$

D'après 1) : une somme de cette forme est nulle $\Rightarrow$ chaque partie est nulle

D'où : $a-a' = 0$ et $b-b' = 0$

Conclusion : $a = a'$ et $b = b'$

26 Exercice 26

$A = \{1, 2, 3, ..., n\}$ avec $n$ impair, et soit $(x_1, x_2, ..., x_n)$ une permutation de $A$ (un réarrangement des éléments de $A$)

Montrer que : $\exists i \in A / x_i - i$ est pair

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $x_i - i$ impair $\forall i \in A$

Étape 1 : $x_i - i$ impair $\Rightarrow x_i$ et $i$ ont des parités différentes, $\forall i$

On compte : dans $A=\{1,...,n\}$ avec $n$ impair, il y a $P=\frac{n-1}{2}$ pairs et $I=\frac{n+1}{2}$ impairs

Étape 2 : à chaque $i$ pair correspond un $x_i$ impair, et à chaque $i$ impair correspond un $x_i$ pair

Donc : parmi les $x_i$, il y a $P$ valeurs impaires et $I$ valeurs paires

Or : $(x_i)$ est une permutation de $A$, donc parmi les $x_i$ il y a exactement $P$ valeurs paires et $I$ valeurs impaires (mêmes quantités que dans $A$)

D'où : $P = I$, or $P=\frac{n-1}{2} \neq \frac{n+1}{2}=I$ : contradiction

Conclusion : $\exists i \in A$ tel que $x_i - i$ est pair

27 Exercice 27

$P: (\forall x \in [0;1]) : x^2 \geq x$ est fausse

✅ Solution

Contre-exemple : $x = \frac{1}{2}$

Vérification : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Conclusion : La proposition est fausse

28 Exercice 28

$P: (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 \geq x + y$ est fausse

✅ Solution

Contre-exemple : $x = y = \frac{1}{2}$

Vérification : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} < 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Conclusion : La proposition est fausse

29 Exercice 29

$P: (\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) : \sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ est fausse

✅ Solution

Contre-exemple : $a = b = 1$

Vérification : $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \neq 2 = 1 + 1$

Conclusion : La proposition est fausse

30 Exercice 30

« Tout entier positif est somme de trois carrés » est fausse

✅ Solution

Contre-exemple : $7$

Carrés disponibles : Les seuls carrés $\leq 7$ sont $0^2=0$, $1^2=1$ et $2^2=4$ (car $3^2=9>7$)

Toutes les sommes de 3 carrés parmi $\{0,1,4\}$ : $0+0+0=0$, $0+0+1=1$, $0+0+4=4$, $0+1+1=2$, $0+1+4=5$, $0+4+4=8$, $1+1+1=3$, $1+1+4=6$, $1+4+4=9$, $4+4+4=12$

Constat : Aucune de ces sommes n'est égale à $7$

Conclusion : $7$ n'est pas somme de trois carrés, donc la proposition est fausse

Série 3 - Logique mathématique

21 Exercice 21

22 Exercice 22

23 Exercice 23

24 Exercice 24

25 Exercice 25

26 Exercice 26

27 Exercice 27

28 Exercice 28

29 Exercice 29

30 Exercice 30