Série 2 - Logique

11 Exercice 11

$\forall x \in \mathbb{R} : |x-1| \leq x^2 - x + 1$

✅ Solution

On étudie le signe de : $x^2 - x + 1 - |x-1|$

Cas 1 : $x \geq 1 \Rightarrow |x-1| = x-1$

Étape 1 : $x^2 - x + 1 - (x-1) = x^2 - 2x + 2$

Étape 2 : $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

Puisque : $(x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow (x-1)^2 + 1 \geq 1 > 0$

Donc : $x^2 - x + 1 - |x-1| \geq 0$ pour $x \geq 1$

Cas 2 : $x < 1 \Rightarrow |x-1| = 1-x$

Étape 3 : $x^2 - x + 1 - (1-x) = x^2 - x + 1 - 1 + x = x^2$

Puisque : $x^2 \geq 0$

Donc : $x^2 - x + 1 - |x-1| \geq 0$ pour $x < 1$

D'où : dans les deux cas, $x^2 - x + 1 - |x-1| \geq 0$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R} : |x-1| \leq x^2 - x + 1$

12 Exercice 12

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$\sqrt{2x+3} \leq x$

✅ Solution

Domaine : $2x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{3}{2}$

Condition nécessaire : $\sqrt{2x+3} \geq 0$ et $\sqrt{2x+3} \leq x \Rightarrow x \geq 0$

D'où : le domaine se réduit à $x \geq 0$

Étape 1 : Pour $x \geq 0$, les deux membres sont $\geq 0$, on élève au carré : $2x+3 \leq x^2$

Étape 2 : $x^2 - 2x - 3 \geq 0$

Étape 3 : $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4+12 = 16$, racines $x = \frac{2 \pm 4}{2} = 3$ ou $x=-1$

Donc : $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

Étape 4 : $(x-3)(x+1) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -1$ ou $x \geq 3$

On combine avec $x \geq 0$ : seule $x \geq 3$ convient

Conclusion : $S = [3; +\infty[$

13 Exercice 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$|x-1| + 2x - 3 \geq 0$

✅ Solution

Cas 1 : $x \geq 1 \Rightarrow |x-1| = x-1$

Étape 1 : $(x-1) + 2x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow 3x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{4}{3}$

On combine avec $x \geq 1$ : $\frac{4}{3} > 1$, donc $x \geq \frac{4}{3}$ convient

Solution 1 : $S_1 = [\frac{4}{3}; +\infty[$

Cas 2 : $x < 1 \Rightarrow |x-1| = 1-x$

Étape 2 : $(1-x) + 2x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$

On combine avec $x < 1$ : $x \geq 2$ et $x < 1$ : impossible

Solution 2 : $S_2 = \emptyset$

D'où : $S = S_1 \cup S_2$

Conclusion : $S = [\frac{4}{3}; +\infty[$

14 Exercice 14

$\forall x \in \mathbb{R} : \sqrt{x^2 + 1} + x > 0$

✅ Solution

Cas 1 : $x \geq 0$

On a : $\sqrt{x^2+1} > 0$ (toujours) et $x \geq 0$

Donc : $\sqrt{x^2+1} + x > 0$ (somme d'un terme $>0$ et d'un terme $\geq 0$)

Cas 2 : $x < 0$, on pose $-x > 0$

On a : $x^2 + 1 > x^2 = (-x)^2$

La fonction $\sqrt{\ }$ étant croissante : $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{(-x)^2} = |-x| = -x$

D'où : $\sqrt{x^2+1} > -x \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1} + x > 0$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R} : \sqrt{x^2+1} + x > 0$

15 Exercice 15

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$x^2 - |x - 2| + 5 = 0$

✅ Solution

Cas 1 : $x \geq 2 \Rightarrow |x-2| = x-2$

Étape 1 : $x^2 - (x-2) + 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x + 2 + 5 = 0$

Étape 2 : $x^2 - x + 7 = 0$

Étape 3 : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(7) = 1 - 28 = -27 < 0$

Donc : pas de solution réelle dans ce cas

Cas 2 : $x < 2 \Rightarrow |x-2| = 2-x$

Étape 4 : $x^2 - (2-x) + 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2 + x + 5 = 0$

Étape 5 : $x^2 + x + 3 = 0$

Étape 6 : $\Delta = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0$

Donc : pas de solution réelle dans ce cas

D'où : dans les deux cas, aucune solution

Conclusion : $S = \emptyset$ (pas de solution dans $\mathbb{R}$)

16 Exercice 16

$n(n+1)(n+2)$ est un multiple de 3 pour tout $n \in \mathbb{N}$

✅ Solution

Étape 1 : Tout $n \in \mathbb{N}$ s'écrit : $n=3k$, $n=3k+1$ ou $n=3k+2$ ($k \in \mathbb{N}$)

Cas 1 : $n=3k \Rightarrow n$ est divisible par 3

Cas 2 : $n=3k+1 \Rightarrow n+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ est divisible par 3

Cas 3 : $n=3k+2 \Rightarrow n+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ est divisible par 3

D'où : dans les 3 cas, l'un des facteurs $n$, $n+1$, $n+2$ est divisible par 3

Donc : le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 3

Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} : n(n+1)(n+2)$ est un multiple de 3

17 Exercice 17

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$x \neq 2$ et $y \neq 2 \Rightarrow 2x + 2y - xy - 2 \neq 2$

✅ Solution

Par l'absurde, on suppose : $2x + 2y - xy - 2 = 2$

Étape 1 : $2x + 2y - xy - 2 = 2 \Leftrightarrow 2x + 2y - xy - 4 = 0$

Étape 2 : $-xy + 2x + 2y - 4 = 0 \Leftrightarrow xy - 2x - 2y + 4 = 0$

On factorise : $xy - 2x - 2y + 4 = x(y-2) - 2(y-2) = (x-2)(y-2)$

Donc : $(x-2)(y-2) = 0$

D'où : $x-2=0$ ou $y-2=0$, c'est-à-dire $x=2$ ou $y=2$

Or : ceci contredit l'hypothèse $x \neq 2$ et $y \neq 2$

D'où : l'hypothèse de départ est fausse

Conclusion : $x \neq 2$ et $y \neq 2 \Rightarrow 2x+2y-xy-2 \neq 2$ (proposition vraie)

18 Exercice 18

$x \in \mathbb{R}$ et $x \neq -5$

$x \neq -8 \Rightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2$

✅ Solution

Par contraposée, on montre : $\frac{x+2}{x+5} = 2 \Rightarrow x = -8$

Étape 1 : $x \neq -5$, donc on multiplie par $(x+5)$ : $x+2 = 2(x+5)$

Étape 2 : $x+2 = 2x+10$

Étape 3 : $x - 2x = 10 - 2 \Leftrightarrow -x = 8$

D'où : $x = -8$

Conclusion : par contraposée, $x \neq -8 \Rightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2$ (proposition vraie)

19 Exercice 19

$n \in \mathbb{N}$

Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair

✅ Solution

Par contraposée, on montre : $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair

Étape 1 : $n$ impair $\Rightarrow \exists k \in \mathbb{N} : n = 2k+1$

Étape 2 : $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Étape 3 : $n^2 = 2(2k^2+2k) + 1$, avec $2k^2+2k \in \mathbb{N}$

Donc : $n^2$ est de la forme $2p+1$, donc impair

Conclusion : par contraposée, $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair (proposition vraie)

20 Exercice 20

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$

✅ Solution

Par contraposée, on montre : $(x+1)(y-1) = (x-1)(y+1) \Rightarrow x = y$

Étape 1 : $(x+1)(y-1) = xy - x + y - 1$

Étape 2 : $(x-1)(y+1) = xy + x - y - 1$

Donc : $xy - x + y - 1 = xy + x - y - 1$

Étape 3 : on simplifie $xy$ et $-1$ des deux côtés : $-x + y = x - y$

Étape 4 : $y + y = x + x \Leftrightarrow 2y = 2x$

D'où : $x = y$

Conclusion : par contraposée, $x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$ (proposition vraie)

Série 2 - Logique mathématique

11 Exercice 11

12 Exercice 12

13 Exercice 13

14 Exercice 14

15 Exercice 15

16 Exercice 16

17 Exercice 17

18 Exercice 18

19 Exercice 19

20 Exercice 20