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Exercice 8

Point matériel sur piste Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide S assimilable à un point matériel de masse $m = 50\text{ g}$ est en mouvement sur une piste constituée d'une partie rectiligne AB inclinée d'un angle $\alpha = 60^\circ$ par rapport à l'horizontale et d'une partie circulaire BC de centre $I$ et de rayon $r = 0,5\text{ m}$.

1. Le point matériel S est lancé du point A avec une vitesse $v_A = 6\text{ m/s}$. Il arrive au point B avec une vitesse nulle. Calculer la distance AB sachant que le point matériel est soumis à une force $\vec{f}$ parallèle et de sens contraire à celui de sa vitesse à chaque instant, d'intensité constante $f = 10^{-2}\text{ N}$.

2. On néglige les frottements sur la partie circulaire BC. Calculer la vitesse $v_C$ de S au point C.

3. Le point matériel quitte le point C avec la vitesse $v_C$. Calculer la vitesse $v_D$ du point matériel au point D.

Donnée : $g = 10\text{ N/kg}$

Point matériel sur piste - Mouvement avec frottement

Calculer la distance AB.

✅ Solution

Bilan des forces sur la partie AB :

$\vec{P}$ : Poids (vertical vers le bas)
$\vec{R}$ : Réaction normale de la piste
$\vec{f}$ : Frottement (parallèle à la pente, opposé au mouvement)

On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué au solide S entre A et B :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{R}) + W_{A\to B}(\vec{f})$$

Or : $v_B = 0$, la réaction normale $\vec{R}$ est perpendiculaire au déplacement donc $W(\vec{R}) = 0$, $W_{A\to B}(\vec{P}) = -m \cdot g \cdot AB \cdot \sin\alpha$ (le solide monte) et $W_{A\to B}(\vec{f}) = -f \cdot AB$ (force opposée au mouvement). L'équation devient :

$$-\frac{1}{2} m v_A^2 = -m \cdot g \cdot AB \cdot \sin\alpha - f \cdot AB$$

Soit, en multipliant les deux membres par $(-1)$ :

$$\frac{1}{2} m v_A^2 = AB \, (m \cdot g \cdot \sin\alpha + f)$$

D'où : on isole $AB$ :

$$AB = \frac{m \, v_A^2}{2(m \cdot g \cdot \sin\alpha + f)}$$

A.N : avec $m = 50\text{ g} = 50 \times 10^{-3}\text{ kg}$, $v_A = 6\text{ m/s}$, $g = 10\text{ N/kg}$, $\alpha = 60^\circ$ et $f = 10^{-2}\text{ N}$ :

$$AB = \frac{50 \times 10^{-3} \times 6^2}{2 \times (50 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^\circ) + 10^{-2})}$$ $$AB = \frac{50 \times 10^{-3} \times 36}{2 \times (0,5 \times 0,866 + 0,01)}$$ $$AB = \frac{1,8}{2 \times (0,433 + 0,01)} = \frac{1,8}{0,886} \approx 2,03\text{ m}$$

Réponse
                                    $$AB \approx 2,03\text{ m}$$
                                

Calculer la vitesse $v_C$.

✅ Solution

On a : sur la partie circulaire BC, on néglige les frottements : seul le poids travaille. D'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué entre B et C :

$$\Delta E_c = E_{cC} - E_{cB} = W_{B\to C}(\vec{P}) + W_{B\to C}(\vec{R})$$

Or : $v_B = 0$ et la réaction $\vec{R}$ est perpendiculaire au déplacement, donc $W(\vec{R}) = 0$. La dénivellation entre B et C vaut le rayon $r$ (le solide descend d'une hauteur $r$ le long du quart de cercle), donc :

$$\frac{1}{2} m v_C^2 = m \cdot g \cdot r \quad\Longrightarrow\quad v_C^2 = 2g \cdot r$$

A.N : avec $g = 10\text{ N/kg}$ et $r = 0,5\text{ m}$ :

$$v_C = \sqrt{2 \times 10 \times 0,5} = \sqrt{10} \approx 3,16\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_C \approx 3,16\text{ m/s}$$
                                

Calculer la vitesse $v_D$.

✅ Solution

On a : entre C et D, le solide est en chute libre (seul le poids travaille). D'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué entre C et D :

$$\Delta E_c = E_{cD} - E_{cC} = W_{C\to D}(\vec{P})$$ $$\frac{1}{2} m v_D^2 - \frac{1}{2} m v_C^2 = m \cdot g \cdot (z_C - z_D)$$

Or : la dénivellation entre C et D correspond à la hauteur $h = AB \cdot \sin\alpha$ atteinte sur la pente, diminuée du rayon $r$ descendu sur BC :

$$z_C - z_D = h - r = AB \cdot \sin\alpha - r$$

D'où : en remplaçant et en simplifiant par $m$, on isole $v_D$ :

$$v_D^2 = 2g(AB \cdot \sin\alpha - r) + v_C^2$$

A.N : avec $g = 10\text{ N/kg}$, $AB \approx 2,03\text{ m}$ (question 1), $\alpha = 60^\circ$, $r = 0,5\text{ m}$ et $v_C \approx 3,16\text{ m/s}$ (question 2) :

$$v_D^2 = 2 \times 10 \times (2,03 \times \sin(60^\circ) - 0,5) + (3,16)^2$$ $$v_D^2 = 20 \times (2,03 \times 0,866 - 0,5) + 10$$ $$v_D^2 = 20 \times (1,758 - 0,5) + 10 = 20 \times 1,258 + 10 = 25,16 + 10 = 35,16$$ $$v_D = \sqrt{35,16} \approx 5,93\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_D \approx 5,93\text{ m/s}$$
                                

Exercice 7 Exercice 9