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Exercice 7

Cylindre en rotation - Couple de frottement Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un cylindre homogène de masse $m$ (non donnée) et de rayon $R = 10\text{ cm}$ tourne autour de son axe de rotation $\Delta$ à la vitesse $\omega = 45\text{ tours/min}$.

On arrête le moteur qui fait tourner le cylindre, le cylindre fait $120$ tours avant de s'arrêter.

On donne le moment d'inertie du cylindre $J_{\Delta} = 3 \times 10^{-2}\text{ kg.m}^{2}$.

1. Calculer la valeur du moment du couple de frottement qui est considéré constant.

2. On fait fonctionner le moteur de nouveau, le cylindre tourne à la vitesse constante $\omega = 45\text{ tours/min}$. Calculer le travail effectué par le moteur pendant une minute et déduire sa puissance.

Cylindre en rotation - Couple de frottement

Calculer le moment du couple de frottement $M_f$.

✅ Solution

Or : il faut d'abord convertir la vitesse angulaire en $\text{rad.s}^{-1}$ :

$$\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 45}{60} = 1,5\pi \approx 4,71\text{ rad.s}^{-1}$$

Or : il faut aussi convertir en radians l'angle balayé par le cylindre avant l'arrêt ($120$ tours) :

$$\Delta\theta = 2\pi \times n = 2\pi \times 120 = 240\pi \approx 754\text{ rad}$$

On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué au cylindre entre l'instant où l'on coupe le moteur (vitesse $\omega$) et l'instant où il s'arrête (vitesse nulle) :

$$\Delta E_c = E_{cf} - E_{ci} = W(\vec{P}) + W(\vec{T}) + W_f$$

Or le poids et la réaction de l'axe ne travaillent pas ($W(\vec{P}) = W(\vec{T}) = 0$), et le travail du couple de frottement s'écrit $W_f = M_f \cdot \Delta\theta$. L'équation devient :

$$0 - \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = M_f \cdot \Delta\theta$$

D'où : on isole $M_f$, puis on remplace par $J_{\Delta} = 3 \times 10^{-2}\text{ kg.m}^2$, $\omega \approx 4,71\text{ rad.s}^{-1}$ et $\Delta\theta \approx 754\text{ rad}$ :

$$M_f = -\frac{J_{\Delta} \cdot \omega^2}{2\Delta\theta} = -\frac{3 \times 10^{-2} \times (1,5\pi)^2}{2 \times 240\pi}$$ $$M_f = -\frac{3 \times 10^{-2} \times 22,2}{1508} = -\frac{0,666}{1508}$$ $$M_f \approx -4,4 \times 10^{-4}\text{ N.m}$$

Réponse

$$M_f \approx -4,4 \times 10^{-4}\text{ N.m}$$

Le signe négatif indique que le couple de frottement est résistant.

Calculer le travail du moteur et sa puissance.

✅ Solution

On a : le mouvement est maintenant uniforme ($\omega$ constant), donc $\Delta E_c = 0$. D'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué entre le début et la fin de la durée $\Delta t = 1\text{ min}$ :

$$0 = W_m + M_f \cdot \Delta\theta'$$

D'où, en isolant le travail moteur $W_m$ :

$$W_m = -M_f \cdot \Delta\theta'$$

Or : il faut d'abord calculer l'angle $\Delta\theta'$ parcouru pendant cette minute :

$$\Delta\theta' = \omega \cdot \Delta t = 1,5\pi \times 60 = 90\pi \text{ rad}$$

A.N : avec $M_f \approx -4,4 \times 10^{-4}\text{ N.m}$ (question 1) et $\Delta\theta' = 90\pi\text{ rad}$ :

$$W_m = -(-4,4 \times 10^{-4}) \times 90\pi = 4,4 \times 10^{-4} \times 282,7$$ $$W_m \approx 0,124\text{ J}$$

Donc : par définition, la puissance moyenne du moteur pendant cette minute est :

$$P = \frac{W_m}{\Delta t} = \frac{0,124}{60} \approx 2,07 \times 10^{-3}\text{ W} = 2,07\text{ mW}$$

Réponse
                                    $$W_m \approx 0,124\text{ J} \quad ; \quad P \approx 2,07\text{ mW}$$
                                

Exercice 6 Exercice 8