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Exercice 9

Poulie - Force de traction Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide S de masse $m = 100\text{ kg}$ est attaché par un fil enroulé sur la gorge d'une poulie. À son autre extrémité, on applique une force $\vec{F}$ horizontale de valeur constante.

Données : $g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}$

La poulie est homogène de rayon $R = 10\text{ cm}$, peut tourner sans frottement autour de son axe de rotation $\Delta$ et a un moment d'inertie $J_{\Delta} = 5 \times 10^{-3}\text{ kg.m}^{2}$.

Le solide à l'instant $t = 0$ a une vitesse nulle. On applique la force $\vec{F}$, à l'instant $t$ sa vitesse est $v = 4\text{ m.s}^{-1}$, à la hauteur $h = 5\text{ m}$.

1. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au solide S entre les deux instants $t = 0$ et $t$ (instant final). Calculer la valeur de la force qu'applique le fil sur le solide $T$.

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à la poulie entre les deux instants $t = 0$ et $t$. Calculer la valeur de la force $\vec{F}$.

Poulie - Solide attaché par un fil

Calculer la force de tension $T$ du fil.

✅ Solution

Système étudié : le solide S.
Bilan des forces : $\vec{P}$ (poids) et $\vec{T}$ (tension du fil).

On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué au solide S entre l'instant initial A ($t=0$) et l'instant final B ($t$) :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{T})$$

Or : $E_{cA} = 0$ (vitesse nulle en A). Le solide S s'élève d'une hauteur $h$, donc le poids s'oppose au mouvement : $W_{A\to B}(\vec{P}) = -m \cdot g \cdot h$. La tension $\vec{T}$ tire le solide vers le haut, dans le sens du déplacement : $W_{A\to B}(\vec{T}) = T \cdot h$. L'équation devient :

$$\frac{1}{2} m v^2 - 0 = -m \cdot g \cdot h + T \cdot h$$

D'où : on isole $T$ :

$$T \cdot h = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot h$$ $$T = m \left(\frac{v^2}{2h} + g\right)$$

A.N : avec $m = 100\text{ kg}$, $v = 4\text{ m/s}$, $h = 5\text{ m}$ et $g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}$ :

$$T = 100 \times \left(\frac{4^2}{2 \times 5} + 9,81\right) = 100 \times \left(\frac{16}{10} + 9,81\right)$$ $$T = 100 \times (1,6 + 9,81) = 100 \times 11,41 = 1141\text{ N}$$

Réponse
                                    $$T = 1141\text{ N}$$
                                

Calculer la valeur de la force $\vec{F}$.

✅ Solution

Système étudié : la poulie.
Forces qui travaillent : $\vec{T}$ (tension du fil, côté solide S) et $\vec{F}$ (force appliquée à l'autre extrémité). Le poids $\vec{P}$ et la réaction de l'axe $\vec{R}$ sont appliqués au centre de la poulie : leur travail est nul.

On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué à la poulie entre les instants $t=0$ et $t$ :

$$\Delta E_c = E_{cf} - E_{ci} = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) + W(\vec{F}) + W(\vec{T})$$

Or : $E_{ci} = 0$ et $W(\vec{P}) = W(\vec{R}) = 0$. En notant $T' = T$ (même tension dans le fil de part et d'autre de la poulie) et $h = R \cdot \Delta\theta$ le déplacement du fil, la force $\vec{F}$ entraîne la poulie (travail moteur positif) tandis que la tension $\vec{T'}$ la freine (travail résistant négatif) :

$$\frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 - 0 = F \cdot h - T' \cdot h$$

Or : la vitesse angulaire $\omega$ de la poulie est liée à la vitesse linéaire $v$ du fil (donc du solide S) par la relation $v = R \cdot \omega$, d'où :

$$\omega = \frac{v}{R} = \frac{4}{0,10} = 40\text{ rad/s}$$

D'où : on isole $F$ :

$$\frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = h \cdot (F - T) \quad\Longrightarrow\quad F = T + \frac{J_{\Delta} \cdot \omega^2}{2h} = T + \frac{J_{\Delta} \cdot v^2}{2R^2 \cdot h}$$

A.N : avec $T = 1141\text{ N}$ (question 1), $J_{\Delta} = 5 \times 10^{-3}\text{ kg.m}^2$, $v = 4\text{ m/s}$, $R = 0,10\text{ m}$ et $h = 5\text{ m}$ :

$$F = 1141 + \frac{5 \times 10^{-3} \times 4^2}{2 \times (0,10)^2 \times 5}$$ $$F = 1141 + \frac{5 \times 10^{-3} \times 16}{2 \times 0,01 \times 5} = 1141 + \frac{0,08}{0,1}$$ $$F = 1141 + 0,8 = 1141,8\text{ N} \approx 1142\text{ N}$$

Réponse
                                    $$F \approx 1142\text{ N}$$
                                

Remarque

La force $F$ est légèrement supérieure à $T$ car une partie de l'énergie sert à mettre la poulie en rotation (énergie cinétique de rotation).

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