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Exercice 6

Pendule - Vitesse à l'équilibre Niveau : Moyen

1 Énoncé

Une pendule est constituée d'une bille de masse $m = 200\text{ g}$, suspendue à un fil de longueur $L = 1,00\text{ m}$.

On écarte le fil d'un angle $\alpha = 70^\circ$ par rapport à la verticale (position A) et on l'abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements.

Calculer la vitesse de la bille à son passage par la position d'équilibre (position B).

Donnée : $g = 10\text{ N/kg}$

Pendule simple - Passage à la position d'équilibre

Solution

✅ Solution détaillée

Système étudié : la bille.
Bilan des forces : $\vec{P}$ (poids) et $\vec{T}$ (tension du fil).

Or : la tension $\vec{T}$ est, à chaque instant, perpendiculaire au déplacement de la bille (car elle est dirigée le long du fil, et la bille se déplace toujours perpendiculairement au fil). Donc son travail est nul : $W_{A\to B}(\vec{T}) = 0$.

On a : en prenant B comme origine des altitudes, le tableau des états s'écrit :

	État initial (A)	État final (B)
Altitude	$z_A = L(1-\cos\alpha)$	$z_B = 0$
Vitesse	$v_A = 0$	$v_B = ?$

Donc : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué à la bille entre A et B :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{T})$$

Or $v_A = 0$ et $W_{A\to B}(\vec{T}) = 0$, donc en simplifiant par $m$ :

$$\frac{1}{2} v_B^2 = g \cdot z_A$$

Or : il faut d'abord calculer la hauteur $z_A = h$ :

$$h = L(1 - \cos\alpha) = 1,00 \times (1 - \cos 70^\circ)$$ $$h = 1,00 \times (1 - 0,342) = 0,658\text{ m}$$

D'où : on isole $v_B$, puis on remplace par $g = 10\text{ N/kg}$ et $h = 0,658\text{ m}$ :

$$v_B^2 = 2g \cdot h = 2 \times 10 \times 0,658 = 13,16$$ $$v_B = \sqrt{13,16} \approx 3,63\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_B \approx 3,63\text{ m/s}$$
                                

Exercice 5 Exercice 7

	État initial (A)	État final (B)
Altitude	\(z_A = L(1-\cos\alpha)\)	\(z_B = 0\)
Vitesse	\(v_A = 0\)	\(v_B = ?\)