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Exercice 5

Skieur descendant une pente Niveau : Moyen

1 Énoncé

Un skieur descend une pente en ligne droite sur une distance \(AB = 200\text{ m}\). La pente fait un angle \(\alpha = 20^\circ\) avec l'horizontale.

Au point A sa vitesse était nulle, à l'arrivée au point B sa vitesse est \(30\text{ km/h}\). La masse du skieur est \(80\text{ kg}\). L'ensemble des forces de frottements est équivalent à une force \(\vec{f}\) parallèle au sol mais opposée au sens du mouvement.

1. Représenter le skieur avec les différentes forces qui agissent sur lui.

2. Calculer le poids du skieur et déterminer l'angle qu'il fait avec AB.

3. Calculer le travail du poids au cours du mouvement de A à B.

4. Déterminer l'énergie cinétique du skieur à l'arrivée en B.

5. Donner l'expression du théorème de l'énergie cinétique appliqué au cas de ce skieur.

6. Donner l'expression du travail de \(\vec{f}\).

7. Déterminer l'intensité de la force \(f\).

Skieur descendant une pente

1.

Représenter les forces agissant sur le skieur.

✅ Solution
Bilan des forces :
  • \(\vec{P}\) : Poids (vertical vers le bas).
  • \(\vec{R}\) : Réaction normale (perpendiculaire à la pente).
  • \(\vec{f}\) : Force de frottement (parallèle à la pente, opposée au mouvement).
2.

Calculer le poids et l'angle avec AB.

✅ Solution
On a : par définition, le poids a pour valeur :
$$P = m \cdot g = 80 \times 10 = 800\text{ N}$$
Or : le poids \(\vec{P}\) est vertical alors que \(\vec{AB}\) est incliné de l'angle \(\alpha\) par rapport à l'horizontale. Dans le triangle rectangle formé par la verticale, la pente et l'horizontale, l'angle entre \(\vec{P}\) et \(\vec{AB}\) vaut :
$$\beta = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$$
Réponse
$$P = 800\text{ N} \quad ; \quad \beta = 70^\circ$$
3.

Calculer le travail du poids \(W(\vec{P})\).

✅ Solution
On a : par définition, le travail du poids entre A et B est :
$$W_{A\to B}(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \vec{AB} = P \cdot AB \cdot \cos\beta$$
A.N : avec \(P = 800\text{ N}\), \(AB = 200\text{ m}\) et \(\beta = 70^\circ\) :
$$W_{A\to B}(\vec{P}) = 800 \times 200 \times \cos(70^\circ)$$ $$W_{A\to B}(\vec{P}) = 160000 \times 0,342 = 54720\text{ J}$$ $$W_{A\to B}(\vec{P}) \approx 5,47 \times 10^4\text{ J}$$
Réponse
$$W(\vec{P}) \approx 5,47 \times 10^4\text{ J}$$
4.

Déterminer l'énergie cinétique en B.

✅ Solution
Or : il faut d'abord convertir la vitesse en \(\text{m.s}^{-1}\) :
$$v_B = 30\text{ km/h} = \frac{30 \times 10^3}{3600} \approx 8,33\text{ m/s}$$
On a : par définition, l'énergie cinétique du skieur en B est :
$$E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (8,33)^2$$ $$E_{cB} = 40 \times 69,39 \approx 2776\text{ J} \approx 2,78 \times 10^3\text{ J}$$
Réponse
$$E_{cB} \approx 2,78 \times 10^3\text{ J}$$
5.

Expression du théorème de l'énergie cinétique.

✅ Solution
Expression :
$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{R}) + W_{A\to B}(\vec{f})$$

Avec \(E_{cA} = 0\) (vitesse nulle en A) et \(W(\vec{R}) = 0\).

6.

Expression du travail de \(\vec{f}\).

✅ Solution
Expression :
$$W_{A\to B}(\vec{f}) = \vec{f} \cdot \vec{AB} = f \cdot AB \cdot \cos(180^\circ) = -f \cdot AB$$

Le travail de la force de frottement est négatif (force résistante).

7.

Déterminer l'intensité de la force \(f\).

✅ Solution
On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique établi à la question 5, avec \(E_{cA} = 0\) et \(W(\vec{R}) = 0\) :
$$E_{cB} - 0 = W(\vec{P}) + 0 + W(\vec{f})$$

Or \(W(\vec{f}) = -f \cdot AB\) (question 6) et \(W(\vec{P}) \approx 5,47 \times 10^4\text{ J}\) (question 3), donc :

$$E_{cB} = 5,47 \times 10^4 - f \cdot AB$$
D'où : on isole \(f\), puis on remplace par \(E_{cB} \approx 2,78 \times 10^3\text{ J}\) (question 4) et \(AB = 200\text{ m}\) :
$$f \cdot AB = 5,47 \times 10^4 - E_{cB}$$ $$f = \frac{5,47 \times 10^4 - 2,78 \times 10^3}{200}$$ $$f = \frac{51920}{200} \approx 260\text{ N}$$
Réponse
$$f \approx 260\text{ N}$$
Exercice 4 Exercice 6