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Exercice 4

Bille lancée verticalement Niveau : Moyen

1 Énoncé

Une bille est lancée verticalement vers le haut à une altitude $h = 2,0\text{ m}$ par rapport au sol, avec une vitesse $v_A = 10\text{ m/s}$.

On considère que le poids est la seule force appliquée à la bille (chute libre).

On donne $g = 10\text{ N/kg}$.

Calculer en utilisant le théorème de l'énergie cinétique :

1. La hauteur maximale atteinte par la bille.

2. La vitesse de la bille lorsqu'elle retombe sur le sol.

Bille lancée verticalement - Chute libre

Calculer la hauteur maximale $z_B$.

✅ Solution

Système étudié : la bille, assimilée à un point matériel.
Bilan des forces : seul le poids $\vec{P}$ s'exerce sur la bille (chute libre).

On a : le point B correspond au sommet de la trajectoire, là où la vitesse s'annule. Le tableau des états s'écrit :

	État initial (A)	État final (B)
Altitude	$z_A = 2,0\text{ m}$	$z_B = ?$
Vitesse	$v_A = 10\text{ m/s}$	$v_B = 0$

Donc : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué à la bille entre A et B :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P})$$ $$\frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$$

Or $v_B = 0$, donc en simplifiant par $m$ :

$$-\frac{1}{2} v_A^2 = g \cdot (z_A - z_B)$$

D'où : on isole $z_B$, puis on applique numériquement avec $v_A = 10\text{ m/s}$, $g = 10\text{ N/kg}$ et $z_A = 2,0\text{ m}$ :

$$z_B = z_A + \frac{v_A^2}{2g} = 2,0 + \frac{10^2}{2 \times 10} = 2,0 + 5,0 = 7,0\text{ m}$$

Réponse
                                    $$z_B = 7,0\text{ m}$$
                                

Calculer la vitesse $v_0$ au sol.

✅ Solution

On a : après avoir atteint le point B (sommet), la bille retombe en chute libre jusqu'au sol (point O). Le tableau des états s'écrit :

	État initial (B)	État final (O)
Altitude	$z_B = 7,0\text{ m}$	$z_0 = 0$
Vitesse	$v_B = 0$	$v_0 = ?$

Donc : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué à la bille entre B et O :

$$\Delta E_c = E_{cO} - E_{cB} = W_{B\to O}(\vec{P})$$ $$\frac{1}{2} m v_0^2 - 0 = m \cdot g \cdot (z_B - z_0)$$

Or $z_0 = 0$, donc en simplifiant par $m$ :

$$\frac{1}{2} v_0^2 = g \cdot z_B$$

A.N : on isole $v_0$, puis on remplace par $g = 10\text{ N/kg}$ et $z_B = 7,0\text{ m}$ :

$$v_0 = \sqrt{2g \cdot z_B} = \sqrt{2 \times 10 \times 7,0} = \sqrt{140} \approx 11,8\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_0 \approx 11,8\text{ m/s}$$
                                

Exercice 3 Exercice 5

	État initial (A)	État final (B)
Altitude	\(z_A = 2,0\text{ m}\)	\(z_B = ?\)
Vitesse	\(v_A = 10\text{ m/s}\)	\(v_B = 0\)

	État initial (B)	État final (O)
Altitude	\(z_B = 7,0\text{ m}\)	\(z_0 = 0\)
Vitesse	\(v_B = 0\)	\(v_0 = ?\)