On a : d'après le théorème de l'énergie cinétique, appliqué au solide entre A et B :
$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{R})$$
Or, la vitesse est nulle en A, donc \(E_{cA} = 0\).
Or : la réaction \(\vec{R}\) du plan est perpendiculaire au déplacement \(AB\) (pas de frottement), donc \(W_{A\to B}(\vec{R}) = 0\). L'équation devient :
$$\frac{1}{2} \, m \, v^2 = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$$
Or : la dénivellation entre A et B s'exprime, dans le triangle rectangle formé par la pente, par :
$$z_A - z_B = AB \cdot \sin\alpha = 10 \cdot \sin\alpha$$
D'où : en remplaçant \(z_A - z_B\) et en simplifiant par \(m\), on isole \(\sin\alpha\) :
$$\frac{1}{2} v^2 = g \cdot AB \cdot \sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{v^2}{2 \cdot g \cdot AB}$$
Or : il faut convertir la vitesse en \(\text{m.s}^{-1}\) :
$$v = 8\text{ km/h} = \frac{8 \times 10^3}{3600} = \frac{20}{9} \approx 2,22\text{ m/s}$$
A.N : avec \(v \approx 2,22\text{ m.s}^{-1}\), \(g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}\) et \(AB = 10\text{ m}\) :
$$\sin\alpha = \frac{(2,22)^2}{2 \times 9,81 \times 10} = \frac{4,94}{196,2} \approx 0,0252$$
Donc : on en déduit l'angle \(\alpha\) :
$$\alpha = \arcsin(0,0252) \approx 1,44^\circ$$
Réponse
$$\alpha \approx 1,44^\circ$$
