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Exercice 1

Énergie cinétique d'un cylindre Niveau : Facile

1 Énoncé

Calculer l'énergie cinétique d'un cylindre de masse $m = 20\text{ kg}$ et de rayon $R = 40\text{ cm}$ dans chacun des cas suivants :

1. Le cylindre est en translation de vitesse $v = 20\text{ m.s}^{-1}$.

2. Le cylindre est en rotation autour d'un axe fixe de vitesse angulaire $\omega = 50\text{ rad.s}^{-1}$.

Énergie cinétique en translation et en rotation

Cylindre en translation : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$

✅ Solution

On a : le corps est en translation, donc son énergie cinétique s'écrit :

$$E_c = \frac{1}{2} \, m \, v^2$$

A.N : avec $m = 20\text{ kg}$ et $v = 20\text{ m.s}^{-1}$ :

$$E_c = \frac{1}{2} \times 20 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 400$$ $$E_c = 4000\text{ J}$$

Soit, en écriture scientifique : $E_c = 4,0 \times 10^3\text{ J}$.

Réponse
                                    $$E_c = 4,0 \times 10^3\text{ J}$$
                                

Cylindre en rotation : $E_c = \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$ avec $J_{\Delta} = \frac{1}{2} m R^2$

✅ Solution

On a : le cylindre tourne autour de son axe $\Delta$, donc son énergie cinétique de rotation s'écrit $E_c = \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$, avec le moment d'inertie :

$$J_{\Delta} = \frac{1}{2} \, m \, R^2$$

D'où : en remplaçant $J_{\Delta}$ dans l'expression de $E_c$ :

$$E_c = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} m R^2\right) \times \omega^2 = \frac{1}{4} \, m \, R^2 \, \omega^2$$

A.N : avec $m = 20\text{ kg}$, $R = 40\text{ cm} = 0,40\text{ m}$ et $\omega = 50\text{ rad.s}^{-1}$ :

$$E_c = \frac{1}{4} \times 20 \times 0,40^2 \times 50^2$$ $$E_c = \frac{1}{4} \times 20 \times 0,16 \times 2500 = 2000\text{ J}$$ $$E_c = 2,0 \times 10^3\text{ J}$$

Réponse
                                    $$E_c = 2,0 \times 10^3\text{ J}$$
                                

Remarque

L'énergie cinétique de translation ($4,0 \times 10^3\text{ J}$) est plus grande que l'énergie cinétique de rotation ($2,0 \times 10^3\text{ J}$) pour le même cylindre.

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