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Série 5 - Logique mathématique

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Exercices 41 à 54

41 Exercice 41

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=1 \Rightarrow 1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$ ✅
Hérédité : Supposons $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
Étape 1 : $1+2+\cdots+n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$
Étape 2 : $= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Conclusion : La formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

42 Exercice 42

$\forall n \geq 5 : 2^n \geq 6n$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=5 \Rightarrow 2^5 = 32 \geq 6 \times 5 = 30$ ✅
Hérédité : Supposons $2^n \geq 6n$ pour un $n \geq 5$
But : montrer $2^{n+1} \geq 6(n+1)$
Étape 1 : $2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2 \times 6n = 12n$
Puisque : $n \geq 5 \Rightarrow 6n \geq 6$
Donc : $12n = 6n+6n \geq 6n+6 = 6(n+1)$
D'où : $2^{n+1} \geq 6(n+1)$

Conclusion : $\forall n \geq 5 : 2^n \geq 6n$

43 Exercice 43

$\forall n \in \mathbb{N} : n^3 + 2n$ est divisible par 3
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 0^3+2(0)=0$ divisible par 3 ✅
Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : n^3+2n = 3k$
But : montrer que $(n+1)^3+2(n+1)$ est divisible par 3
Étape 1 : $(n+1)^3+2(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+2n+2$
Étape 2 : $= (n^3+2n) + 3n^2+3n+3$
Étape 3 : $= 3k + 3n^2+3n+3$
Étape 4 : $= 3(k+n^2+n+1)$
D'où : $(n+1)^3+2(n+1)$ est divisible par 3

Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} : n^3+2n$ est divisible par 3

44 Exercice 44

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=1 \Rightarrow 1^2 = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$ ✅
Hérédité : Supposons $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Étape 1 : $\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$
Étape 2 : on met au même dénominateur : $= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}$
Étape 3 : on factorise par $(n+1)$ : $= \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6}$
Étape 4 : $n(2n+1)+6(n+1) = 2n^2+n+6n+6 = 2n^2+7n+6$
Étape 5 : $2n^2+7n+6 = (n+2)(2n+3)$
D'où : $\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Conclusion : la formule est vraie $\forall n \in \mathbb{N}^*$

45 Exercice 45

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=1 \Rightarrow 1^3 = \frac{1^2 \times 2^2}{4} = 1$ ✅
Hérédité : Supposons $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Étape 1 : $\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3$
Étape 2 : on met au même dénominateur : $= \frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4}$
Étape 3 : on factorise par $(n+1)^2$ : $= \frac{(n+1)^2[n^2 + 4(n+1)]}{4}$
Étape 4 : $n^2+4(n+1) = n^2+4n+4 = (n+2)^2$
D'où : $\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

Conclusion : la formule est vraie $\forall n \in \mathbb{N}^*$

46 Exercice 46

$\sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 1 = 1^2 = 1$ ✅
Hérédité : Supposons $\sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$
Étape 1 : $\sum_{k=0}^{n+1} (2k+1) = (n+1)^2 + (2(n+1)+1)$
Étape 2 : $= n^2+2n+1+2n+3 = n^2+4n+4 = (n+2)^2$

Conclusion : La formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

47 Exercice 47

$\forall n \in \mathbb{N} : 4^n + 6n - 1$ est divisible par 9
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 1 + 0 - 1 = 0$ divisible par 9 ✅
Hérédité : Supposons $9 \mid (4^n + 6n - 1)$
Étape 1 : $4^{n+1} + 6(n+1) - 1 = 4 \times 4^n + 6n + 6 - 1$
Étape 2 : $= (4^n + 6n - 1) + 3 \times 4^n + 6$
Étape 3 : $= 9k + 3(4^n + 2)$
Étape 4 : $4 = 3+1$, donc $4^n = (3+1)^n$. En développant, tous les termes sauf le dernier contiennent un facteur 3, donc $4^n = 3q + 1$ pour un entier $q$
Étape 5 : Donc $4^n + 2 = 3q + 3 = 3(q+1)$, qui est bien divisible par 3, d'où $9k + 3 \times 3(q+1) = 9k + 9(q+1) = 9\big(k+q+1\big)$

Conclusion : $4^{n+1}+6(n+1)-1$ est divisible par 9, la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

48 Exercice 48

$\forall n \in \mathbb{N} : 7^n - 1$ est divisible par 6
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 7^0-1 = 1-1 = 0$ divisible par 6 ✅
Hérédité : Supposons $\exists k \in \mathbb{N} : 7^n-1 = 6k$
Étape 1 : $7^{n+1}-1 = 7 \times 7^n - 1 = 7(7^n-1) + 6$
Étape 2 : $= 7 \times 6k + 6 = 42k+6$
Étape 3 : $= 6(7k+1)$
D'où : $7^{n+1}-1$ est divisible par 6

Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} : 7^n-1$ est divisible par 6

49 Exercice 49

$P(n) : 10^n - 1$ divisible par 9

$Q(n) : 10^n + 1$ divisible par 9

1)

Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie

✅ Solution
On suppose : $\exists k \in \mathbb{N} : 10^n-1 = 9k$
Étape 1 : $10^{n+1} - 1 = 10 \times 10^n - 1 = 10(10^n - 1) + 9$
Étape 2 : $= 10 \times 9k + 9 = 90k+9$
Étape 3 : $= 9(10k + 1)$

Conclusion : $P(n+1)$ est vraie

2)

Démontrer que si $Q(n)$ est vraie alors $Q(n+1)$ est vraie

✅ Solution
On suppose : $\exists k \in \mathbb{N} : 10^n+1 = 9k$
Étape 1 : $10^{n+1} + 1 = 10 \times 10^n + 1 = 10(10^n + 1) - 9$
Étape 2 : $= 10 \times 9k - 9 = 90k-9$
Étape 3 : $= 9(10k - 1)$

Conclusion : $Q(n+1)$ est vraie

3)

Expliquer l'erreur de l'élève

✅ Solution

Erreur : L'élève n'a pas vérifié l'initialisation !

$P(0) : 10^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ divisible par 9 ✅
$Q(0) : 10^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ n'est pas divisible par 9 ❌

Donc $Q(n)$ est fausse car l'initialisation échoue !

4)

Démontrer que $P(n)$ est vraie

✅ Solution
Initialisation : $P(0)$ vraie ✅
Hérédité : $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (démontré en 1)

Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

5)

Démontrer que $Q(n)$ est fausse

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons que $Q(n)$ est vraie

Étape 1 : $10^n + 1$ est divisible par 9
Étape 2 : $10^n - 1$ est divisible par 9 (d'après 4)
Étape 3 : $(10^n + 1) - (10^n - 1) = 2$ serait divisible par 9
Étape 4 : Contradiction car $2$ n'est pas divisible par 9

Conclusion : $Q(n)$ est fausse pour tout $n \in \mathbb{N}$

50 Exercice 50

$P(n) : 7^n - 1$ est divisible par 3

1)

Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie

✅ Solution
On suppose : $\exists k \in \mathbb{N} : 7^n-1 = 3k$
Étape 1 : $7^{n+1} - 1 = 7 \times 7^n - 1 = 7(7^n - 1) + 6$
Étape 2 : $= 7 \times 3k + 6 = 21k+6$
Étape 3 : $= 3(7k + 2)$

Conclusion : $P(n+1)$ est vraie

2)

En déduire, par récurrence, que $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

✅ Solution

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 7^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ divisible par 3 ✅

Hérédité : démontrée en 1)

Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

51 Exercice 51

$a,b \in ]-1;1[$

$-1 < \frac{a+b}{1+ab} < 1$
✅ Solution
Étape 1 : Comme $|a|<1$ et $|b|<1$, on a $ab > -1$, donc $1+ab > 0$ (le dénominateur est positif)
Étape 2 : Puisque $1+ab>0$, l'inégalité $-1 < \frac{a+b}{1+ab} < 1$ équivaut à $-(1+ab) < a+b < 1+ab$
Étape 3 (partie droite) : $a+b < 1+ab \Leftrightarrow 0 < 1-a-b+ab \Leftrightarrow 0 < (1-a)(1-b)$, vrai car $a<1$ et $b<1$
Étape 4 (partie gauche) : $a+b > -(1+ab) \Leftrightarrow 0 < 1+a+b+ab \Leftrightarrow 0 < (1+a)(1+b)$, vrai car $a>-1$ et $b>-1$

Conclusion : $-1 < \frac{a+b}{1+ab} < 1$

52 Exercice 52

Traduire en langage courant puis déterminer la négation et la valeur de vérité :

1)
$P: (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x > y$
✅ Solution

Traduction : Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $x > y$

Négation : $\exists x \in \mathbb{R}(\forall y \in \mathbb{R}) : x \leq y$

Valeur : Vrai (prendre $y = x-1$)

2)
$P: (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x > y$
✅ Solution

Traduction : Il existe un réel $x$ qui est plus grand que tout réel $y$

Négation : $\forall x \in \mathbb{R}(\exists y \in \mathbb{R}) : x \leq y$

Valeur : Faux (aucun réel n'est plus grand que tous les autres)

3)
$P: (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$
✅ Solution

Traduction : Pour tout réel $x$, si $x^2 \geq 4$ alors $x \geq 2$

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 4$ et $x < 2$

Valeur : Faux (contre-exemple: $x = -3$)

4)
$P: (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 = 4$
✅ Solution

Traduction : Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 4$

Négation : $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \neq 4$

Valeur : Vrai ($x = 2$ ou $x = -2$)

53 Exercice 53

À l'aide de la méthode des tables de vérité, dire si la formule est une tautologie.

$P \Rightarrow (P \text{ ou } Q)$
✅ Solution
$P$$Q$$P \text{ ou } Q$$P \Rightarrow (P \text{ ou } Q)$
VVVV
VFVV
FVVV
FFFV

Conclusion : C'est une tautologie

54 Exercice 54

1)

$a \in \mathbb{R}^+$, $b \in \mathbb{R}^+$

$a \leq b \Rightarrow a \leq \frac{a+b}{2} \leq b$ et $0 \leq \sqrt{ab} \leq b$
✅ Solution
Étape 1 : $a \leq b \Rightarrow a+a \leq a+b \leq b+b$
Étape 2 : $2a \leq a+b \leq 2b \Rightarrow a \leq \frac{a+b}{2} \leq b$
Étape 3 : $0 \leq a \leq b \Rightarrow 0 \leq ab \leq b^2$
Étape 4 : $0 \leq \sqrt{ab} \leq b$

Conclusion : Les inégalités sont vraies

2)
$\forall n \in \mathbb{N}, n(n+1)$ est divisible par 2
✅ Solution
Cas 1 : $n$ pair $\Rightarrow n$ divisible par 2
Cas 2 : $n$ impair $\Rightarrow n+1$ pair
Étape 3 : Dans les deux cas, $n(n+1)$ est divisible par 2

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

3)

$n \in \mathbb{N}^*$

$\sqrt{n^2 + 1}$ n'est pas un entier
✅ Solution

Par l'absurde : Supposons que $\sqrt{n^2+1} \in \mathbb{N}$

Étape 1 : $\sqrt{n^2+1} = k$, avec $k \in \mathbb{N}$
Étape 2 : $n^2 + 1 = k^2 \Leftrightarrow k^2 - n^2 = 1$
Étape 3 : $(k-n)(k+n) = 1$
Puisque : $k^2 = n^2+1 > n^2 \Rightarrow k > n \geq 1 \Rightarrow k+n > 0$ et $k-n > 0$
Donc : $k-n$ et $k+n$ sont 2 entiers positifs dont le produit vaut 1
D'où : $k-n = 1$ et $k+n = 1$
Étape 4 : en additionnant : $2k = 2 \Rightarrow k=1$, puis $n = k-1 = 0$
Or : $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \geq 1$, contradiction avec $n=0$

Conclusion : $\sqrt{n^2+1} \notin \mathbb{N}$

4)

$\forall x \in \mathbb{R} : x < 2 \Rightarrow x^2 < 4$ ?

✅ Solution
Contre-exemple : $x = -3$
Vérification : $-3 < 2$ mais $(-3)^2 = 9 > 4$

Conclusion : La proposition est fausse

5)

$a \in \mathbb{R}^*_+$

$\forall n \in \mathbb{N} : (1+a)^n \geq 1 + n \times a$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow (1+a)^0 = 1 \geq 1+0 = 1$ ✅
Hérédité : Supposons $(1+a)^n \geq 1 + na$
Puisque : $1+a > 0$ (car $a \in \mathbb{R}^*_+$), on multiplie l'hypothèse par $(1+a)$
Étape 1 : $(1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1+na)$
Étape 2 : $(1+a)(1+na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$
Puisque : $n \geq 0$ et $a^2 \geq 0 \Rightarrow na^2 \geq 0$
Donc : $1 + (n+1)a + na^2 \geq 1+(n+1)a$
D'où : $(1+a)^{n+1} \geq 1+(n+1)a$

Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N} : (1+a)^n \geq 1+na$

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