Lorsqu'on utilise plusieurs cas dans une démonstration, le raisonnement utilisé s'appelle raisonnement par disjonction des cas.
Résoudre l'équation suivante : $|x+1| + 2x = 0$, $x \in \mathbb{R}$
1er cas : $x \in ]-\infty, -1]$
Dans ce cas $x+1 \le 0$, donc $|x+1| = -(x+1)$. On a :
on développe et on réduit :
or $1 \notin\ ]-\infty, -1]$, cette valeur est à rejeter. Donc : $S_1 = \varnothing$
2ème cas : $x \in [-1, +\infty[$
Dans ce cas $x+1 \ge 0$, donc $|x+1| = x+1$. On a :
on développe et on réduit :
or $-\dfrac{1}{3} \in [-1, +\infty[$, cette valeur est acceptée. Donc : $S_2 = \left\{-\frac{1}{3}\right\}$
Conclusion : $S = S_1 \cup S_2 = \left\{-\frac{1}{3}\right\}$
Les deux cas sur ℝ et la position de la solution trouvée
Pour démontrer qu'une proposition Q est vraie :
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par l'absurde.
Le principe du raisonnement par l'absurde
Soient r un nombre rationnel et i un nombre irrationnel et s = r + i.
Montrer que s est un nombre irrationnel.
On utilise un raisonnement par l'absurde :
On suppose que $s$ est un nombre rationnel. On a :
Or $s$ et $r$ sont tous les deux rationnels par supposition, et la somme (ou différence) de deux rationnels est rationnelle, donc $s - r$ est rationnel.
Mais $i = s - r$, donc $i$ serait rationnel — ce qui contredit le fait que $i$ est irrationnel.
Contradiction !
Conclusion : La supposition « s est rationnel » est fausse. Donc s est irrationnel.
Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (√2 n'est pas un nombre rationnel).
On utilise un raisonnement par l'absurde :
On suppose que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel. Il existe alors $p,q \in \mathbb{Z}^*$ avec $pgcd(p,q) = 1$ tels que :
en élevant au carré :
donc $p^2$ est pair, ce qui entraîne que $p$ lui-même est pair : on pose $p = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. En remplaçant :
donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair également.
Contradiction ! $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, donc $pgcd(p,q) \ge 2 \neq 1$, ce qui contredit l'hypothèse $pgcd(p,q)=1$.
Conclusion : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Soient $n_0 \in \mathbb{N}$ et $P(n)$ une relation portant sur les entiers naturels $n$ tel que $n \ge n_0$.
Pour démontrer que la relation $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$, on utilise les étapes suivantes :
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par récurrence.
La propriété se transmet de proche en proche
Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Initialisation :
Pour $n = 1$ : $1 = \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ ✅ la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité :
Soit $n \ge 1$. Supposons que $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (hypothèse de récurrence), et montrons que la propriété reste vraie au rang $n+1$. On a :
on met au même dénominateur puis on factorise par $(n+1)$ :
ce qui est bien la formule attendue au rang $n+1$.
Conclusion : D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\ n^3 + 2n$ est divisible par 3
Initialisation :
Pour $n = 0$ : $0^3 + 2 \times 0 = 0$ est divisible par 3 ✅ la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
Soit $n \ge 0$. Supposons que $3 \mid (n^3 + 2n)$, c.à.d. qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n^3 + 2n = 3k$ (hypothèse de récurrence), et montrons que $3 \mid \left[(n+1)^3 + 2(n+1)\right]$. On développe :
on regroupe $n^3 + 2n$ (que l'on remplace par $3k$) avec le reste :
on met 3 en facteur commun :
donc $(n+1)^3 + 2(n+1)$ est bien un multiple de 3.
Conclusion : D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.