Une loi logique (ou tautologie) est une proposition qui est toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la constituent.
Exemple : Montrons que $(P \land Q) \Rightarrow P$ est une loi logique.
On a, par définition de l'implication :
D'après les lois de Morgan :
Par commutativité et associativité de $\lor$, on regroupe $\overline{P}$ et $P$ :
Or $\overline{P} \lor P = \mathbf{V}$ (toujours vraie), donc :
📘 Remarque : $\mathbf{V}$ désigne une proposition toujours vraie (tautologie). La disjonction d'une tautologie avec n'importe quelle proposition est toujours vraie.
Conclusion : $(P \land Q) \Rightarrow P$ est toujours vraie, c'est donc une loi logique.
Pour prouver que la propriété $\forall x \in E,\ P(x)$ est fausse, il suffit de prouver que $\exists x \in E,\ \overline{P(x)}$ est vraie (c.à.d. de trouver un élément x de E qui ne vérifie pas P(x), ce qu'on appelle un contre-exemple).
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par contre-exemple.
Question : Est-ce que la somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel ?
Conclusion : La propriété « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est fausse.
Un seul contre-exemple suffit pour réfuter ∀x ∈ E, P(x)
Pour démontrer que l'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est vraie, on démontre que :
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par équivalences successives.
Montrer que : $\forall a,b \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = 2ab \iff a = b$
Soient $a, b \in \mathbb{R}$. On a :
on transpose $2ab$ dans le premier membre :
on reconnaît une identité remarquable $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ :
or un carré est nul si et seulement si sa base est nulle, d'où :
Conclusion : $\forall a,b \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = 2ab \iff a = b$
Si on a l'implication $P \Rightarrow Q$ est vraie et on a comme donnée la proposition P, alors on déduit que la proposition Q est vraie.
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par déduction.
Modus ponens : de P et P⇒Q on déduit Q
On suppose qu'on a démontré la propriété : $\forall a,b > 0,\ \sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$
On veut en déduire que : $\forall x > 0,\ 2\sqrt{x} \le 1 + x$
On applique la propriété avec $a = 1$ et $b = x$ :
c'est-à-dire $\sqrt{x} \le \dfrac{1+x}{2}$, donc en multipliant les deux membres par 2 :
Conclusion : $\forall x > 0,\ 2\sqrt{x} \le 1 + x$
Pour démontrer l'implication $P \Rightarrow Q$, il suffit de démontrer l'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.
Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par contraposée.
P ⇒ Q et sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P sont équivalentes
Montrer que : $\forall x,y \in ]2, +\infty[,\ x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$
On utilise un raisonnement par contraposée.
Il suffit de démontrer : $\forall x,y \in ]2, +\infty[,\ x^2 - 4x = y^2 - 4y \Rightarrow x = y$
Soient $x,y \in ]2, +\infty[$ tels que $x^2 - 4x = y^2 - 4y$. On a :
on ajoute 4 aux deux membres :
on reconnaît des identités remarquables :
or $x,y > 2$ donc $x-2 > 0$ et $y-2 > 0$ ; deux nombres positifs de carrés égaux sont égaux, d'où :
Conclusion : L'implication contraposée est vraie, donc l'implication initiale est vraie.