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Partie 2 : Opérations sur les propositions

Table des matières

1. La négation d'une proposition
2. Conjonction et Disjonction
3. L'implication de deux propositions
4. L'équivalence de deux propositions

1 La négation d'une proposition

Définition

La négation d'une proposition P est la proposition qu'on note $\overline{P}$ ou ¬P telle que les valeurs de vérité de P et $\overline{P}$ sont opposées.

Exemples

1) P : « 2 est un nombre pair » (vraie)

Sa négation $\overline{P}$ est : « 2 est un nombre impair » (fausse)

2) Q : « $3 > 5$ » (fausse)

Sa négation $\overline{Q}$ est : « $3 \le 5$ » (vraie) — attention : la négation de « $>$ » est « $\le$ », et non « $<$ ».

P et sa négation P̄ dans l'univers E

$P$	$\overline{P}$
V (1)	F (0)
F (0)	V (1)

Propriété
                        $\overline{\overline{P}} = P$    ou encore    $\neg(\neg P) = P$
                    

                    Résumé
                    La négation inverse la valeur de vérité.
Si P est vraie, $\overline{P}$ est fausse.
Si P est fausse, $\overline{P}$ est vraie.
La double négation redonne la proposition initiale.

                

2 Conjonction et Disjonction

A. La conjonction de deux propositions

Définition

La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée $P \land Q$ ou bien P et Q ; et elle est vraie seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux vraies.

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

                    Exemples
                    1) « (2 est un nombre pair) ∧ (2 + 3 = 6) » : on a $P$ vraie et $Q$ fausse, donc $P \land Q$ est une proposition fausse.
2) « (3 est un nombre premier) ∧ (4 est un carré parfait) » : on a $P$ vraie et $Q$ vraie, donc $P \land Q$ est une proposition vraie.

                

P ∧ Q : seule l'intersection est vraie

B. La disjonction de deux propositions

Définition

La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée $P \lor Q$ ou bien P ou Q ; et elle est fausse seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux fausses.

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

                    Exemples
                    1) « (2 est un nombre pair) ∨ (2 + 3 = 6) » : on a $P$ vraie et $Q$ fausse, donc $P \lor Q$ est une proposition vraie.
2) « (4 est un nombre impair) ∨ (2 + 2 = 5) » : on a $P$ fausse et $Q$ fausse, donc $P \lor Q$ est une proposition fausse (le seul cas où la disjonction est fausse).

                

P ∨ Q : toute la zone couverte est vraie

C. Propriétés

                    Propriétés
                    Commutativité : $P \land Q \iff Q \land P$   et   $P \lor Q \iff Q \lor P$
Associativité : $(P \land Q) \land R \iff P \land (Q \land R)$   et   $(P \lor Q) \lor R \iff P \lor (Q \lor R)$
Idempotence : $P \land P \iff P$   et   $P \lor P \iff P$

                

Lois de Morgan
                        $\overline{P \land Q} \iff \overline{P} \lor \overline{Q}$    et    $\overline{P \lor Q} \iff \overline{P} \land \overline{Q}$
                    

Distributivité

$P \land (Q \lor R) \iff (P \land Q) \lor (P \land R)$

$P \lor (Q \land R) \iff (P \lor Q) \land (P \lor R)$

Exemple de vérification : soient $P$ : « $5 > 3$ » (V), $Q$ : « 5 est pair » (F) et $R$ : « 5 est impair » (V).

D'un côté : $Q \lor R = F \lor V = V$, donc $P \land (Q \lor R) = V \land V = \mathbf{V}$.

De l'autre : $P \land Q = V \land F = F$ et $P \land R = V \land V = V$, donc $(P \land Q) \lor (P \land R) = F \lor V = \mathbf{V}$.

Les deux membres valent V : la loi de distributivité est bien vérifiée sur cet exemple.

                    Résumé
                    $P \land Q$ (et) : vraie seulement si P et Q sont vraies.
$P \lor Q$ (ou) : fausse seulement si P et Q sont fausses.
La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives.
Lois de Morgan : $\overline{P \land Q} \iff \overline{P} \lor \overline{Q}$ et $\overline{P \lor Q} \iff \overline{P} \land \overline{Q}$.

                

3 L'implication de deux propositions

Définition

L'implication de deux propositions P puis Q est la proposition $\overline{P} \lor Q$ ; qu'on note par $P \Rightarrow Q$ on lit « P implique Q ».

Elle est équivalente à $\overline{P} \lor Q$.

P ⇒ Q : P est inclus dans Q (P ⊂ Q)

                    Vocabulaire
                    La proposition P s'appelle les données (ou hypothèses) de l'implication.
La proposition Q s'appelle la conclusion de l'implication.

                

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

                    Remarque importante
                    L'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse seulement dans le cas P est vraie et Q est fausse.
Si P est fausse, l'implication est toujours vraie (quel que soit Q).

                

                    Exemples
                    « (2 est un nombre pair) $\Rightarrow$ (2 + 3 = 6) » est une proposition fausse.

                            (vraie $\Rightarrow$ fausse = fausse)
« (2 + 3 = 6) $\Rightarrow$ (2 est un nombre pair) » est une proposition vraie.

                            (fausse $\Rightarrow$ vraie = vraie)

                    Propriétés
                    Transitivité : $[(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R)] \Rightarrow (P \Rightarrow R)$
Négation : $\overline{P \Rightarrow Q} \iff P \land \overline{Q}$
Contraposée : $P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$

                

                    Vocabulaire supplémentaire
                    L'implication $Q \Rightarrow P$ s'appelle l'implication réciproque de $P \Rightarrow Q$.
L'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ s'appelle la contraposée de $P \Rightarrow Q$.
Si $P \Rightarrow Q$ on n'a pas forcément $Q \Rightarrow P$.

                

                    Résumé
                    $P \Rightarrow Q$ (P implique Q) équivaut à $\overline{P} \lor Q$.
Fausse seulement si P vraie et Q fausse.
Contraposée : $P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.
La négation de $P \Rightarrow Q$ est $P \land \overline{Q}$.

                

4 L'équivalence de deux propositions

Définition

L'équivalence de deux propositions P et Q est la proposition $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$ notée $P \Leftrightarrow Q$ ; on lit « P est équivalente à Q » ou « P si et seulement si Q ».

$P$	$Q$	$P \Leftrightarrow Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

P ⇔ Q : P et Q désignent le même ensemble de vérité

Exemples

1) $\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R} : x^2 = y^2 \iff (x = y \text{ ou } x = -y)$

2) P : « 6 est divisible par 3 » (V) et Q : « 6 est un nombre pair » (V).

P et Q ont la même valeur de vérité (toutes les deux vraies), donc $P \Leftrightarrow Q$ est vraie.

Par contre, si on prend R : « 7 est premier » (V) et S : « 7 est pair » (F), alors R et S n'ont pas la même valeur de vérité, donc $R \Leftrightarrow S$ est fausse.

                    Propriétés
                    $P \Leftrightarrow Q \iff Q \Leftrightarrow P$ (commutativité)
$P \Leftrightarrow Q \iff \overline{P} \Leftrightarrow \overline{Q}$
Transitivité : $[(P \Leftrightarrow Q) \land (Q \Leftrightarrow R)] \Rightarrow (P \Leftrightarrow R)$

                

                    Résumé
                    $P \Leftrightarrow Q$ (P équivaut à Q) signifie que P et Q ont la même valeur de vérité.
L'équivalence est la double implication : $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$.
L'équivalence est transitive, commutative et se conserve par négation.

                

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