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Exercice 1

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Valeur de vérité et négation Niveau : Facile

1 Déterminer la valeur de vérité et la négation

Déterminer la valeur de vérité (Vrai ou Faux) et la négation de chaque proposition.

$\forall x \in \mathbb{R} ; x^2 \leq x \Rightarrow |x| = x$

✅ Solution

Valeur de vérité : Vrai

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} ; x^2 \leq x \land |x| \neq x$

On a : $x^2 \leq x \Leftrightarrow x(x-1) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [0,1]$

Sur $[0,1]$ : $x \geq 0$, d'où $|x| = x$

Ailleurs : l'hypothèse $x^2 \leq x$ est fausse, donc l'implication est vraie

Conclusion : Vrai

$\forall x \in \mathbb{R} ; \left(x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2\right)$

✅ Solution

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} ; \left(x^2 = 4 \nLeftrightarrow x = 2\right)$

On a : $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -2$

Or : pour $x=-2$ : $x^2=4$ vraie mais $x=2$ fausse

Donc : l'équivalence est fausse ($x=-2$ contre-exemple)

Conclusion : Faux

$\left(7 < 5 \text{ et } 2+1=3\right) \text{ ou } \left(-3 \in \mathbb{N}\right)$

✅ Solution

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\left(7 \geq 5 \text{ ou } 2+1 \neq 3\right) \text{ et } \left(-3 \notin \mathbb{N}\right)$

On a : $7 < 5$ : Faux ; $2+1=3$ : Vrai

Donc : $(7<5 \text{ et } 2+1=3)$ : Faux

Et : $-3 \in \mathbb{N}$ : Faux

Alors : Faux ou Faux = Faux

Conclusion : Faux

$\left(7 < 5 \Rightarrow 2+1=0\right) \text{ ou } \left(-3 \in \mathbb{N}\right)$

✅ Solution

Valeur de vérité : Vrai

Négation : $\left(7 < 5 \text{ et } 2+1 \neq 0\right) \text{ et } \left(-3 \notin \mathbb{N}\right)$

On a : $7<5$ : Faux ; $2+1=0$ : Faux

Donc : (Faux $\Rightarrow$ Faux) = Vrai

Et : $-3 \in \mathbb{N}$ : Faux

Alors : Vrai ou Faux = Vrai

Conclusion : Vrai

$\exists n \in \mathbb{Z}, n^2 \leq n . \forall x \in \mathbb{R}, x^2 < x$

✅ Solution

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\left(\forall n \in \mathbb{Z}, n^2 > n\right) \text{ ou } \left(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \geq x\right)$

On a : $\exists n \in \mathbb{Z}, n^2 \leq n$ : Vrai ($n=1$)

Et : $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 < x$ : Faux ($x=2$)

Donc : Vrai . Faux = Faux

Conclusion : Faux

$\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x - y + 3 = 0 . \exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, x - y + 3 = 0$

✅ Solution

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\left(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x - y + 3 \neq 0\right) \text{ ou } \left(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, x - y + 3 \neq 0\right)$

On a : $\forall x, \exists y, x-y+3=0$ : Vrai ($y=x+3$ convient)

Et : $\exists y, \forall x, x-y+3=0$ : Faux ($y$ fixe ne peut convenir pour tout $x$)

Donc : Vrai . Faux = Faux

Conclusion : Faux

$\forall x \in \mathbb{R} ; \sqrt{x^2 + 3} \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1$

✅ Solution

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} ; \left(\sqrt{x^2 + 3} \geq 2 \nLeftrightarrow x \geq 1\right)$

On a : $\sqrt{x^2 + 3} \geq 2 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1$

D'où : l'équivalence avec « $x \geq 1$ » seul est fausse (ex: $x=-2$)

Conclusion : Faux

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