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Exercice 9

Monotonie - Composée - Représentation Niveau : Difficile

1 Énoncé

1) Soit la fonction f définie sur ℝ⁺ par : $f(x) = x^2 + 2x$

Déterminer la monotonie de la fonction f sur ℝ⁺

✅ Solution

Méthode

Pour étudier la monotonie de $f$ sur un intervalle, on prend deux réels $x, x'$ de cet intervalle avec $x

On écrit $f(x)$ sous forme canonique : $f(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

On prend deux réels $x, x' \in \mathbb{R}^+$ avec $x < x'$, et on calcule la différence en la factorisant : $f(x') - f(x) = (x'^2 - x^2) + 2(x' - x) = (x' - x)(x' + x + 2)$

On étudie le signe de chaque facteur : $x' - x > 0$ (car $x 0$ (car $x,x' \ge 0$) : donc leur produit est strictement positif

Donc $f(x') - f(x) > 0$, c'est-à-dire : $f(x) < f(x')$

Conclusion

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.

$f(x) = x^2 + 2x$ est croissante sur ℝ⁺

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ f(x) \ge 0$

✅ Solution

On factorise $f(x)$ : $f(x) = x^2 + 2x = x(x+2)$

Pour $x \ge 0$, les deux facteurs sont positifs ou nuls : $x \ge 0$ et $x+2 > 0$

Un produit de deux facteurs positifs est positif, donc : $x(x+2) \ge 0$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R}^+,\ f(x) \ge 0$ ✅

2) Soit g la fonction définie sur ℝ⁺ par : $g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$

Déterminer la monotonie de la fonction g sur ℝ⁺

✅ Solution

On prend deux réels $x, x' \in \mathbb{R}^+$ avec $x < x'$ : $g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, donc : $x < x' \Rightarrow 1+x < 1+x' \Rightarrow \sqrt{1+x} < \sqrt{1+x'}$

On ajoute $-1$ aux deux membres (cela ne change pas le sens de l'inégalité) : $-1 + \sqrt{1+x} < -1 + \sqrt{1+x'}$, c'est-à-dire $g(x) < g(x')$

Conclusion

$g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.

$g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$ est croissante sur ℝ⁺

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ g(x) \ge 0$

✅ Solution

Pour $x \ge 0$, on a : $1+x \ge 1$

La racine carrée est croissante, donc : $\sqrt{1+x} \ge \sqrt{1} = 1$

On soustrait $1$ aux deux membres : $-1 + \sqrt{1+x} \ge -1 + 1 = 0$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R}^+,\ g(x) \ge 0$ ✅

Calculer $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^+$

✅ Solution

a) Calcul de $(f \circ g)(x)$

On calcule $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : $= f(-1 + \sqrt{1+x})$

On applique $f(u) = u^2+2u$ avec $u = -1+\sqrt{1+x}$ : $= (-1 + \sqrt{1+x})^2 + 2(-1 + \sqrt{1+x})$

On développe le carré, $(-1+\sqrt{1+x})^2 = 1 - 2\sqrt{1+x} + (1+x)$ : $= \left[1 - 2\sqrt{1+x} + 1+x\right] + \left[-2 + 2\sqrt{1+x}\right]$

Les termes en $\sqrt{1+x}$ s'éliminent ($-2\sqrt{1+x}+2\sqrt{1+x}=0$), il reste : $1+1+x-2 = x$

$(f \circ g)(x) = x$

b) Calcul de $(g \circ f)(x)$

On calcule $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : $= g(x^2 + 2x)$

On applique $g(u) = -1+\sqrt{1+u}$ avec $u = x^2+2x$ : $= -1 + \sqrt{1 + x^2 + 2x}$

On reconnaît une identité remarquable sous la racine, $1+x^2+2x = (x+1)^2$ : $= -1 + \sqrt{(x+1)^2} = -1 + |x+1|$

Pour $x \ge 0$, on a $x+1 \ge 0$, donc $|x+1| = x+1$ : $(g \circ f)(x) = -1 + x + 1 = x$

$(g \circ f)(x) = x$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R}^+,\ (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$

Les fonctions $f$ et $g$ sont réciproques l'une de l'autre sur $\mathbb{R}^+$.

Représenter dans le même repère orthonormé $(C_f)$, $(C_g)$ et la droite d'équation $y=x$

✅ Solution

Puisque $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$, les courbes $C_f$ et $C_g$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

$C_f$ (bleu), $C_g$ (vert) et $y=x$ (rouge)

Propriété

Les fonctions $f$ et $g$ sont des fonctions réciproques sur $\mathbb{R}^+$.

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Exercice 8 Exercice 10