Exercice 8

1)

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$

✅ Solution

Idée

Le but est de faire apparaître $x^2+1$ (le dénominateur) au numérateur, pour pouvoir simplifier la fraction.

On part de l'expression de $g(x)$ : $g(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$

On écrit $2x^2+1$ comme somme de $x^2$ et de $(x^2+1)$ : $2x^2+1 = x^2 + (x^2+1)$, donc $g(x) = \dfrac{x^2 + (x^2+1)}{x^2+1}$

On sépare en deux fractions de même dénominateur : $= \dfrac{x^2}{x^2+1} + \dfrac{x^2+1}{x^2+1}$

Or $\dfrac{x^2+1}{x^2+1} = 1$, donc : $= 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$ ✅

2)

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$ et déduire que : $\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le g(x) \le 2$

✅ Solution

a) On montre l'égalité

On repart de l'expression de $g(x)$ : $g(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$

On écrit $2x^2+1 = 2(x^2+1) - 1$, pour faire apparaître $2(x^2+1)$ au numérateur : $g(x) = \dfrac{2(x^2+1) - 1}{x^2+1}$

On sépare la fraction en deux termes : $= \dfrac{2(x^2+1)}{x^2+1} - \dfrac{1}{x^2+1} = 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$

Égalité

$\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$ ✅

b) On en déduit l'encadrement

On a $x^2 \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc en ajoutant $1$ : $x^2+1 \ge 1$

En passant à l'inverse (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty[$, l'inégalité change de sens) : $0 < \dfrac{1}{x^2+1} \le 1$

On multiplie par $-1$ (l'inégalité change de sens), puis on ajoute $2$ : $-1 \le -\dfrac{1}{x^2+1} < 0 \ \Rightarrow\ 1 \le 2-\dfrac{1}{x^2+1} < 2$, donc $1 \le g(x) < 2$

Vérification avec le résultat de la question 1 : $0 \le \dfrac{x^2}{x^2+1} < 1$, donc $1 \le 1+\dfrac{x^2}{x^2+1} < 2$ : on retrouve bien le même encadrement pour $g(x)$.

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le g(x) < 2$

La borne $1$ est atteinte en $x=0$ (car $g(0)=1$) ; la borne $2$ n'est jamais atteinte, c'est seulement une limite quand $x \to \pm\infty$.

$x$	$x^2$	$g(x)$
$x=0$	$0$	$1$
$x \to \infty$	$\to \infty$	$\to 2$

Valeurs limites de g

3)

La fonction f est-elle bornée sur ℝ ?

✅ Solution

Rappel

Une fonction $h$ est bornée sur $\mathbb{R}$ s'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \le h(x) \le M$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

On étudie le comportement de $f(x) = 3x-5$ quand $x$ devient très grand ou très petit :

Quand $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$, donc $f$ n'est pas majorée

Quand $x \to -\infty$ : $f(x) \to -\infty$, donc $f$ n'est pas minorée

Conclusion

$f$ n'est pas bornée sur $\mathbb{R}$, car elle n'est ni majorée ni minorée : c'est une fonction affine non constante, sa courbe est une droite qui s'étend à l'infini dans les deux sens.

4)

Montrer que la fonction $g \circ f$ est bornée sur ℝ

✅ Solution

On calcule $(g \circ f)(x)$ : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-5)$

D'après la question 2, on a l'encadrement : pour tout $t \in \mathbb{R}$, $1 \le g(t) < 2$

Or $f(x) \in \mathbb{R}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc on peut poser $t = f(x)$ dans cet encadrement : $1 \le g(f(x)) < 2$, c'est-à-dire $1 \le (g \circ f)(x) < 2$

Conclusion

La fonction $g \circ f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, car $1 \le (g \circ f)(x) < 2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$1 \le (g \circ f)(x) < 2$

5)

Les valeurs $1$ et $2$ sont-elles atteintes par la fonction $g \circ f$ ?

✅ Solution

a) La valeur $1$

D'après la question 1, on cherche $t$ tel que $g(t)=1$ : $g(t)=1 \iff \dfrac{t^2}{t^2+1}=0 \iff t^2=0 \iff t=0$

On cherche $x$ tel que $f(x)=0$ (c'est-à-dire $t=0$) : $f(x)=0 \iff 3x-5=0 \iff x=\dfrac{5}{3}$

Conclusion

$(g \circ f)\left(\dfrac{5}{3}\right) = g(0) = 1$, donc la valeur $1$ est atteinte (pour $x=\dfrac{5}{3}$).

b) La valeur $2$

On cherche $t$ tel que $g(t)=2$ : $g(t)=2 \iff 2-\dfrac{1}{t^2+1}=2 \iff \dfrac{1}{t^2+1}=0$, ce qui est impossible car $\dfrac{1}{t^2+1} > 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$

Or $t = f(x)$ décrit tout $\mathbb{R}$ quand $x$ décrit $\mathbb{R}$ (car $f$ est affine non constante) : donc $(g \circ f)(x)$ ne vaut jamais $2$

Conclusion

La valeur $2$ n'est jamais atteinte : c'est seulement une limite quand $x \to \pm\infty$.

Résumé

$(g \circ f)(x)$ est bornée entre 1 et 2 : $1$ est un minimum atteint en $x=\dfrac{5}{3}$, alors que $2$ est seulement une borne supérieure, jamais atteinte.

1 Énoncé