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Exercice 10

Fonctions trigonométriques Niveau : Difficile

1 Énoncé

Soit la fonction f définie sur ℝ par :

$f(x) = 2\cos x - x$

1) a) Montrer que pour tout x de $I = [0; \pi]$ : $-\pi - 2 \le f(x) \le 2$

Montrer que pour tout x de $I = [0; \pi]$ : $-\pi - 2 \le f(x) \le 2$

✅ Solution

On part de l'encadrement de $x$ sur $I$ : $x \in [0;\pi] \Rightarrow 0 \le x \le \pi$

Majoration : $\cos x \le 1 \Rightarrow 2\cos x \le 2$, et $x \ge 0 \Rightarrow -x \le 0$, on additionne : $f(x) = 2\cos x - x \le 2 + 0 = 2$ ✅

Minoration : $\cos x \ge -1 \Rightarrow 2\cos x \ge -2$, et $x \le \pi \Rightarrow -x \ge -\pi$, on additionne : $f(x) = 2\cos x - x \ge -2 - \pi = -\pi - 2$ ✅

Conclusion

$\forall x \in [0; \pi],\ -\pi - 2 \le f(x) \le 2$

Étudier la monotonie de la fonction $x \mapsto \cos x$ sur l'intervalle $I$

✅ Solution

Rappel : D'après le cercle trigonométrique, on sait que $\cos$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$ (elle décroît de $1$ à $-1$ quand $x$ parcourt $[0; \pi]$).

Conclusion : La fonction $x \mapsto \cos x$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$.

$\cos x$ est décroissante sur $[0; \pi]$

Déduire la monotonie de la fonction f

✅ Solution

Rappel

La somme de deux fonctions décroissantes sur un même intervalle est décroissante sur cet intervalle.

D'après b), multiplier par $2>0$ ne change pas le sens de variation : $x \mapsto 2\cos x$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$

La fonction $x \mapsto x$ est strictement croissante, donc son opposée l'est en sens contraire : $x \mapsto -x$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$

$f(x) = 2\cos x + (-x)$ est la somme de ces deux fonctions décroissantes, donc : $f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$

Conclusion

$f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$.

$f(x) = 2\cos x - x$ est décroissante sur $[0; \pi]$

2) On pose : $g(x) = f(4x)$

Étudier la monotonie de la fonction g sur l'intervalle $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$

✅ Solution

Rappel

La composée d'une fonction croissante suivie d'une fonction décroissante est décroissante.

On écrit $g$ comme une composée : $g(x) = f(4x)$, donc $g = f \circ \varphi$ avec $\varphi(x) = 4x$

On étudie $\varphi$ : c'est une fonction affine de coefficient $4>0$, donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; et pour $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ : $\varphi(x) = 4x \in [0; \pi]$

D'après c), $f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$, l'intervalle où $\varphi(x)$ prend ses valeurs : on peut donc composer

Conclusion

$g = f \circ \varphi$ est strictement décroissante sur $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ ($\varphi$ croissante suivie de $f$ décroissante).

$g(x) = 2\cos(4x) - 4x$ est décroissante sur $[0; \pi/4]$

3) On pose : $h(x) = (2\cos x - x)^2$

Déterminer une fonction u vérifiant $h = u \circ f$

✅ Solution

On identifie $h(x)$ en fonction de $f(x)$ : $h(x) = (2\cos x - x)^2 = (f(x))^2$

On pose $u$ la fonction « mettre au carré » : $u(t) = t^2$

Vérification : $(u \circ f)(x) = u(f(x)) = (f(x))^2 = h(x)$ ✅

Conclusion

$h = u \circ f$ avec $u(t) = t^2$

Déterminer la monotonie de h sur $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$

✅ Solution

Rappel

Si $f$ est décroissante sur $J$, et si $u$ est croissante sur l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $J$, alors $u \circ f$ est décroissante sur $J$.

D'après a), on a : $h = u \circ f$ avec $f(x) = 2\cos x - x$ et $u(t) = t^2$

D'après la question 1c), $f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$, donc en particulier sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right] \subset [0; \pi]$ :

Il reste à connaître le signe de $f$ sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$ pour savoir sur quelle branche de $u$ on se trouve — on calcule $f$ à l'extrémité droite : $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\cos\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.63 > 0$

Or $f$ est décroissante sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$, donc $f(x) \ge f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ pour tout $x$ de cet intervalle : $f(x) > 0$ sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$

Or $u(t) = t^2$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$, et $f(x) > 0$ sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$ : $u$ est donc croissante sur l'ensemble des valeurs prises par $f$

Conclusion

$h = u \circ f$ est strictement décroissante sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$, car $f$ est décroissante et $u$ est croissante là où $f$ prend ses valeurs (composée de sens contraires).

$h(x) = (2\cos x - x)^2$ est décroissante sur $[0; \pi/4]$

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