Retour

Exercice 7

Composée (u ∘ v) Niveau : Facile

1 Énoncé

Écrire la fonction f sous forme de la composée de deux fonctions u et v dans les cas suivants :

$f(x) = \sqrt{1-2x}$

✅ Solution

Méthode

Pour écrire $f = u \circ v$, on suit l'ordre des opérations effectuées sur $x$ : la dernière opération donne $u$ (fonction extérieure), et ce qui reste à l'intérieur donne $v$ (fonction intérieure).

On suit l'ordre des opérations sur $x$ : on calcule d'abord $1-2x$, puis on prend la racine carrée du résultat.

La dernière opération (fonction extérieure $u$) est la racine carrée : $u(x) = \sqrt{x}$

Ce qui reste à l'intérieur (fonction intérieure $v$) est : $v(x) = 1-2x$

Vérification : $(u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(1-2x) = \sqrt{1-2x} = f(x)$ ✅

Conclusion

$f = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = \sqrt{x} \\ v(x) = 1-2x \end{cases}$

Schéma de composition : $x \xrightarrow{v} 1-2x \xrightarrow{u} \sqrt{1-2x}$

$f(x) = (2x+1)^2$

✅ Solution

On suit l'ordre des opérations sur $x$ : on calcule d'abord $2x+1$, puis on élève le résultat au carré.

La dernière opération (fonction extérieure $u$) est le carré : $u(x) = x^2$

Ce qui reste à l'intérieur (fonction intérieure $v$) est : $v(x) = 2x+1$

Vérification : $(u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(2x+1) = (2x+1)^2 = f(x)$ ✅

Conclusion

$f = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = x^2 \\ v(x) = 2x+1 \end{cases}$

Schéma de composition : $x \xrightarrow{v} 2x+1 \xrightarrow{u} (2x+1)^2$

$f(x) = |x| - 2$

✅ Solution

On suit l'ordre des opérations sur $x$ : on calcule d'abord $|x|$, puis on soustrait $2$ au résultat.

La dernière opération (fonction extérieure $u$) est « soustraire $2$ » : $u(x) = x-2$

Ce qui reste à l'intérieur (fonction intérieure $v$) est la valeur absolue : $v(x) = |x|$

Vérification : $(u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(|x|) = |x| - 2 = f(x)$ ✅

Conclusion

$f = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = x-2 \\ v(x) = |x| \end{cases}$

Schéma de composition : $x \xrightarrow{v} |x| \xrightarrow{u} |x|-2$

$f(x) = 2\sqrt{x^2+3}$

✅ Solution

On suit l'ordre des opérations sur $x$ : on calcule d'abord $x^2+3$, puis on prend sa racine carrée, puis on multiplie le résultat par $2$.

Les deux dernières opérations (« racine carrée » puis « $\times 2$ ») forment ensemble la fonction extérieure $u$ : $u(x) = 2\sqrt{x}$

Ce qui reste à l'intérieur, sous la racine (fonction intérieure $v$), est : $v(x) = x^2+3$

Vérification : $(u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(x^2+3) = 2\sqrt{x^2+3} = f(x)$ ✅

Conclusion

$f = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = 2\sqrt{x} \\ v(x) = x^2+3 \end{cases}$

Schéma de composition : $x \xrightarrow{v} x^2+3 \xrightarrow{u} 2\sqrt{x^2+3}$

Exercice 6 Exercice 8