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Exercice 6

Composée de fonctions Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f et g deux fonctions définies par :

$f(x) = \sqrt{x-1}$   et   $g(x) = \dfrac{x}{x+2}$
1)

Déterminer $D_{f \circ g}$ et $D_{g \circ f}$

✅ Solution

a) Domaine de $f \circ g$

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{g(x)-1}$

Rappel

$x \in D_{f \circ g} \iff x \in D_g$ et $g(x) \in D_f$

Domaines de départ : $D_f = [1, +\infty[$ et $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
Condition à vérifier : $g(x) \in D_f \iff g(x) \ge 1$
On remplace $g(x)$ : $\dfrac{x}{x+2} \ge 1$
On ramène à un seul quotient : $\dfrac{x}{x+2} - 1 \ge 0 \iff \dfrac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0 \iff \dfrac{-2}{x+2} \ge 0$
Étude de signe (le numérateur $-2$ est constant et négatif) : $\dfrac{-2}{x+2} \ge 0 \iff x+2 < 0 \iff x < -2$
Conclusion

$D_{f \circ g} = \ ]-\infty, -2[$

Construction de $D_{f \circ g}$ : $D_g$ privé de $-2$, restreint à $g(x)\ge 1$

b) Domaine de $g \circ f$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \dfrac{f(x)}{f(x)+2}$

Rappel

$x \in D_{g \circ f} \iff x \in D_f$ et $f(x) \in D_g$, c'est-à-dire $f(x) \neq -2$

Domaine de départ : $D_f = [1, +\infty[$
Condition à vérifier : $f(x)+2 \neq 0$, c'est-à-dire $\sqrt{x-1}+2 \neq 0$
Or $\sqrt{x-1} \ge 0$ pour tout $x \ge 1$ : $\sqrt{x-1}+2 \ge 2 > 0$, donc la condition est toujours vérifiée
Conclusion

$D_{g \circ f} = [1, +\infty[$

Construction de $D_{g \circ f}$ : $D_f$ tout entier, car $f(x)+2 \neq 0$ toujours vérifiée

Résumé
  • $D_{f \circ g} = \ ]-\infty, -2[$
  • $D_{g \circ f} = [1, +\infty[$
2)

Donner l'expression de $(f \circ g)(x)$ pour tout $x \in D_{f \circ g}$

✅ Solution
Définition de la composée : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
On remplace $g(x)$ : $= f\left(\dfrac{x}{x+2}\right)$
On applique $f(u) = \sqrt{u-1}$ avec $u = \dfrac{x}{x+2}$ : $= \sqrt{\dfrac{x}{x+2} - 1}$
On ramène le contenu de la racine au même dénominateur : $= \sqrt{\dfrac{x - (x+2)}{x+2}}$
On simplifie le numérateur : $= \sqrt{\dfrac{-2}{x+2}}$
Conclusion

$\forall x \in \ ]-\infty, -2[,\ (f \circ g)(x) = \sqrt{\dfrac{-2}{x+2}}$

Exercice 5 Exercice 7