Exercice 5

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Rappel du cours

$\sqrt{u}$ est définie $\iff u \ge 0$ ; un quotient $\dfrac{A}{B}$ est défini $\iff B \neq 0$

Condition sous la racine : $1+x \ge 0 \iff x \ge -1$

Condition sur le dénominateur : $x \neq 0$

Conclusion

En réunissant les deux conditions :

$D_f = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$

2)

Vérifier que $\forall x \in D_f,\ f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$

✅ Solution

Rappel

Multiplier par l'expression conjuguée $\sqrt{a}+1$ permet d'utiliser l'identité $(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = a-1$, pour faire disparaître la racine du numérateur

On part de : $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{1+x}+1$ : $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \times \dfrac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1}$

Au numérateur, identité remarquable $(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)=a-1$ : $\big(\sqrt{1+x}-1\big)\big(\sqrt{1+x}+1\big) = (1+x) - 1 = x$

D'où : $f(x) = \dfrac{x}{x\big(\sqrt{1+x} + 1\big)}$

On simplifie par $x$ (licite car $x \neq 0$ sur $D_f$) : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x} + 1}$

Conclusion

$\forall x \in D_f,\ f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$ ✅

3)

Montrer que f est décroissante sur $D_f$

✅ Solution

Rappel

$f$ est strictement décroissante sur $D_f$ $\iff$ $\forall x, x' \in D_f,\ x < x' \implies f(x) > f(x')$

On utilise la forme simplifiée (question 2) : $f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$

Soient $x, x' \in D_f$ avec $x < x'$ : on compare $f(x)$ et $f(x')$

La racine carrée est croissante sur $[0,+\infty[$ : $x < x' \implies x+1 < x'+1 \implies \sqrt{x+1} < \sqrt{x'+1}$

On ajoute $1$ aux deux membres : $1+\sqrt{x+1} < 1+\sqrt{x'+1}$

La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ est décroissante sur $]0,+\infty[$ (et $1+\sqrt{x+1}>0$) : $\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} > \dfrac{1}{1+\sqrt{x'+1}}$

C'est-à-dire : $f(x) > f(x')$

Conclusion

$\forall x, x' \in D_f,\ x < x' \implies f(x) > f(x')$ $\implies$ $f$ est strictement décroissante sur $D_f$.

4)

Montrer que $\forall x \in D_f,\ 0 < f(x) \le 1$

✅ Solution

Signe de $f(x)$ : $\sqrt{x+1} \ge 0 \implies 1+\sqrt{x+1} \ge 1 > 0$, donc $f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} > 0$

Puisque $1+\sqrt{x+1} \ge 1$ : en passant à l'inverse (décroissant sur les réels strictement positifs), $\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} \le \dfrac{1}{1}$

D'où : $\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} \le 1$

Conclusion

$\forall x \in D_f,\ 0 < f(x) \le 1$ ✅

5)

Calculer $f(-1)$ et déduire que 1 est une valeur maximale de la fonction f sur $D_f$

✅ Solution

Calcul de $f(-1)$ : $f(-1) = \dfrac{1}{1+\sqrt{-1+1}} = \dfrac{1}{1+\sqrt{0}} = \dfrac{1}{1+0} = 1$

D'après la question 4) : $\forall x \in D_f,\ f(x) \le 1$

Et on vient de calculer : $f(-1) = 1$

Conclusion

$f$ est majorée par $1$ et cette valeur est atteinte $\implies$ la valeur maximale de $f$ sur $D_f$ est $M = 1$.

Atteinte en $x = -1$.

Maximum $M = 1$ atteint en $x = -1$

1 Énoncé