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Exercice 4

Domaine de définition - Maximum Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit f la fonction définie par :

$f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Rappel du cours

$\sqrt{u}$ est définie $\iff u \ge 0$ ; ici $u = 4 - x^2$

Condition d'existence : $4 - x^2 \ge 0$

On isole $x^2$ : $4 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 4$

Propriété ($x^2 \le a^2 \iff |x| \le a$, pour $a \ge 0$) : $x^2 \le 4 \iff |x| \le 2 \iff -2 \le x \le 2$

Conclusion

$D_f = [-2, 2]$

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Rappel du cours

$f$ est impaire $\iff$ $D_f$ symétrique par rapport à $0$ et $\forall x \in D_f,\ f(-x) = -f(x)$

Domaine : $D_f = [-2, 2]$ (question 1), symétrique par rapport à $0$ ✓

Calcul de $f(-x)$ : $f(-x) = (-x)\sqrt{4 - (-x)^2}$

On simplifie $(-x)^2 = x^2$ : $f(-x) = -x\sqrt{4 - x^2}$

On reconnaît l'expression de $f(x)$ : $f(-x) = -\big(x\sqrt{4-x^2}\big) = -f(x)$

Conclusion

$D_f$ symétrique et $\forall x \in D_f,\ f(-x) = -f(x)$ $\implies$ $f$ est impaire.

Courbe de $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ — symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire)

Déterminer le signe de $(f(x))^2 - 4$ et déduire que la fonction f admet une valeur maximale sur $D_f$

✅ Solution

On développe $(f(x))^2$ : $(f(x))^2 - 4 = \big(x\sqrt{4-x^2}\big)^2 - 4$

Propriété $(\sqrt{u})^2 = u$ pour $u \ge 0$ : $= x^2(4-x^2) - 4$

On distribue $x^2$ : $= 4x^2 - x^4 - 4$

On réordonne et on met $-1$ en facteur : $= -(x^4 - 4x^2 + 4)$

On reconnaît une identité remarquable : $x^4 - 4x^2 + 4 = (x^2-2)^2$, d'où $(f(x))^2 - 4 = -(x^2-2)^2$

Signe d'un carré : $(x^2-2)^2 \ge 0 \implies -(x^2-2)^2 \le 0$

Conclusion

$\forall x \in D_f,\ (f(x))^2 - 4 \le 0$

C'est-à-dire $(f(x))^2 \le 4 \iff |f(x)| \le 2 \iff -2 \le f(x) \le 2$

On en déduit une majoration : $\forall x \in D_f,\ f(x) \le 2$

Cas d'égalité : $(f(x))^2-4 = 0 \iff (x^2-2)^2 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$

Vérification en $x=\sqrt{2}$ : $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\times\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\times\sqrt{2} = 2$ ✅

Conclusion

$f$ est majorée par $2$ et cette valeur est atteinte $\implies$ $f$ admet une valeur maximale sur $D_f$ : $M = 2$.

Atteinte en $x = \sqrt{2}$ (et $x = -\sqrt{2}$ donne le minimum $-2$, par imparité de $f$).

Maximum $M = 2$ atteint en $x = \sqrt{2}$

Exercice 3 Exercice 5