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Exercice 3

Forme canonique - Minimum Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^2 + x$
1)

Écrire $f(x)$ sous forme canonique

✅ Solution
Rappel du cours

Mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$, c'est « compléter le carré » à l'aide de l'identité $(x+k)^2 = x^2+2kx+k^2$

On identifie $k$ : $f(x) = x^2 + x$ ; on veut $2k = 1$, donc $k = \dfrac{1}{2}$
On ajoute et on retranche $k^2 = \dfrac{1}{4}$ : $x^2 + x = \left(x^2 + x + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{1}{4}$
On reconnaît l'identité remarquable : $x^2 + x + \dfrac{1}{4} = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2$
D'où : $f(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$
Conclusion

La forme canonique de $f$ est :

$f(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$
2)

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$

✅ Solution
D'après la question 1) : $f(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$
Un carré est toujours positif ou nul : $\forall x \in \mathbb{R},\ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0$
On ajoute $-\dfrac{1}{4}$ aux deux membres de l'inégalité : $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} \ge 0 - \dfrac{1}{4}$
Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$ ✅

3)

Résoudre l'équation $f(x) = -\dfrac{1}{4}$ et déduire une valeur minimale de la fonction f sur ℝ

✅ Solution
On pose l'équation : $f(x) = -\dfrac{1}{4} \iff \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$
On isole le carré : $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0$
Un carré est nul $\iff$ sa base est nulle : $x + \dfrac{1}{2} = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2}$

Ensemble des solutions :

$S = \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$
Lien avec la question 2) : on a $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$, et cette valeur est effectivement atteinte, en $x = -\dfrac{1}{2}$
Conclusion

$f$ est minorée par $-\dfrac{1}{4}$ et cette valeur est atteinte $\implies$ le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $m = -\dfrac{1}{4}$.

Atteint en $x = -\dfrac{1}{2}$.

Minimum $m = -\dfrac{1}{4}$ atteint en $x = -\dfrac{1}{2}$

Exercice 2 Exercice 4