Exercice 2

1)

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Rappel du cours

$f$ est paire $\iff$ $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ et $\forall x \in D_f,\ f(-x) = f(x)$

Domaine : $D_f = \mathbb{R}$ (une valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier), qui est symétrique par rapport à $0$ ✓

Calcul de $f(-x)$ : $f(-x) = |-x-1| + |-x+1|$

On met $-1$ en facteur dans chaque parenthèse : $-x-1 = -(x+1)$ et $-x+1 = -(x-1)$, d'où $f(-x) = |-(x+1)| + |-(x-1)|$

Propriété de la valeur absolue : $\forall a \in \mathbb{R},\ |-a| = |a|$

On applique cette propriété : $|-(x+1)| = |x+1|$ et $|-(x-1)| = |x-1|$

D'où : $f(-x) = |x+1| + |x-1| = |x-1| + |x+1| = f(x)$

Conclusion

$D_f$ symétrique et $\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = f(x)$ $\implies$ $f$ est paire.

Courbe de $f(x) = |x-1| + |x+1|$ — symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

2)

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge 2$

✅ Solution

Rappel du cours

$\forall a \in \mathbb{R}$ : si $a \ge 0$ alors $|a| = a$ ; si $a \le 0$ alors $|a| = -a$

Tentative avec l'inégalité triangulaire : $|x-1| + |x+1| \ge |(x-1) + (x+1)| = |2x|$

⚠ Insuffisant : $|2x|$ peut être $< 2$ (exemple : pour $x=0$, $|2x|=0$). Il faut donc lever chaque valeur absolue en étudiant le signe de $x-1$ et de $x+1$.

Méthode : distinguer 3 cas selon le signe de $(x-1)$ et $(x+1)$

Cas 1 : $x \ge 1$
$x-1 \ge 0 \implies |x-1| = x-1$, et $x+1 \ge 2 > 0 \implies |x+1| = x+1$
$f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$
or $x \ge 1 \implies 2x \ge 2$, d'où $f(x) \ge 2$ ✅

Cas 2 : $-1 \le x \le 1$
$x-1 \le 0 \implies |x-1| = -(x-1) = 1-x$, et $x+1 \ge 0 \implies |x+1| = x+1$
$f(x) = (1-x) + (x+1) = 2$
$f(x) = 2 \ge 2$ ✅

Cas 3 : $x \le -1$
$x-1 \le -2 < 0 \implies |x-1| = 1-x$, et $x+1 \le 0 \implies |x+1| = -(x+1) = -x-1$
$f(x) = (1-x) + (-x-1) = -2x$
or $x \le -1 \implies -2x \ge 2$, d'où $f(x) \ge 2$ ✅

Conclusion

Ces 3 cas couvrent $\mathbb{R}$ tout entier, et dans chacun $f(x) \ge 2$ $\implies$ $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge 2$ ✅

Intervalle	$f(x)$
$x \ge 1$	$2x$
$-1 \le x \le 1$	$2$
$x \le -1$	$-2x$

Expression de $f$ selon les intervalles — à réutiliser en question 3)

3)

Résoudre l'équation $f(x) = 2$ et déduire une valeur minimale de la fonction f sur ℝ

✅ Solution

On réutilise l'expression de $f(x)$ obtenue par intervalle en question 2) :

Sur $[1,+\infty[$ : $f(x) = 2x$, donc $f(x)=2 \iff 2x=2 \iff x=1$ ; or $1 \ge 1$, donc $x=1$ est bien dans cet intervalle ✅

Sur $[-1,1]$ : $f(x) = 2$ pour tout $x$ de cet intervalle, donc l'équation $2=2$ est toujours vraie : tout $x \in [-1,1]$ est solution ✅

Sur $]-\infty,-1]$ : $f(x) = -2x$, donc $f(x)=2 \iff -2x=2 \iff x=-1$ ; or $-1 \le -1$, donc $x=-1$ est bien dans cet intervalle ✅

Ensemble des solutions (réunion des trois cas) :

$S = \{1\} \cup [-1,1] \cup \{-1\} = [-1, 1]$

Lien avec la question 2) : on a $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge 2$, et on vient de montrer que $f(x) = 2$ est effectivement atteinte, pour tout $x \in [-1,1]$

Conclusion

$f$ est minorée par $2$ et cette valeur est atteinte $\implies$ le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $m = 2$.

Atteint pour tout $x \in [-1,1]$.

Minimum $m = 2$ atteint sur $[-1,1]$

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