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Exercice 1

Parité - Fonction périodique Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f la fonction définie par : $f(x) = \cos(\pi x)$

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Rappel du cours

$f$ est paire $\iff$ $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ et $\forall x \in D_f,\ f(-x) = f(x)$

Domaine : $D_f = \mathbb{R}$ ($\cos$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier), qui est symétrique par rapport à $0$ ✓

Calcul de $f(-x)$ : $f(-x) = \cos\big(\pi \times (-x)\big) = \cos(-\pi x)$

Propriété du cosinus : $\cos$ est une fonction paire, c'est-à-dire $\forall a \in \mathbb{R},\ \cos(-a) = \cos(a)$

On applique cette propriété avec $a = \pi x$ : $\cos(-\pi x) = \cos(\pi x)$

D'où : $f(-x) = \cos(\pi x) = f(x)$

Conclusion

$D_f$ symétrique et $\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = f(x)$ $\implies$ $f$ est paire.

Courbe de $f(x) = \cos(\pi x)$ — symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire)

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$

✅ Solution

Calcul de $f(x+2)$ : $f(x+2) = \cos\big(\pi(x+2)\big)$

On développe $\pi(x+2)$ : $\pi(x+2) = \pi x + 2\pi$, d'où $f(x+2) = \cos(\pi x + 2\pi)$

Propriété du cosinus : $\cos$ est périodique de période $2\pi$, c'est-à-dire $\forall a \in \mathbb{R},\ \cos(a+2\pi) = \cos(a)$

On applique cette propriété avec $a = \pi x$ : $\cos(\pi x + 2\pi) = \cos(\pi x)$

D'où : $f(x+2) = \cos(\pi x) = f(x)$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$ ✅

Déduire que la fonction f est périodique

✅ Solution

Rappel du cours

$f$ est périodique $\iff$ $\exists T > 0$ tel que $\forall x \in D_f,\ f(x+T) = f(x)$

D'après la question 2) : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$

On compare avec la définition : il existe bien un réel $T = 2$, strictement positif, tel que $f(x+T) = f(x)$ pour tout $x$

Conclusion

$f$ est périodique de période $T = 2$.

Remarque : $T = 2$ est en fait la plus petite période possible, puisque la période « naturelle » de $\cos(\pi x)$ vaut $\dfrac{2\pi}{\pi} = 2$.

Périodicité de $f(x) = \cos(\pi x)$ avec $T=2$

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