✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
Retour

Exercice 7

Cercles - Médiatrice Niveau : Difficile

1 Exercice 7 - Énoncé

Soit $ABC$ un triangle tel que :

$$AC = 6\text{ cm},\quad AB = 5\text{ cm},\quad BC = 4\text{ cm}$$
a)

Construire $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A, 1); (B, 2); (C, 1)\}$.

✅ Solution détaillée
On a : $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 1)\}$.
La somme des poids est : $1 + 2 + 1 = 4 \neq 0$ ✅ donc $G$ existe bien.
D'après l'associativité : on pose $I$ le barycentre partiel de $\{(B, 2); (C, 1)\}$ (avec $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$), donc :
$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 3)\}$$
D'où, pour construire $G$ :
$$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{1+3}\overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AI}$$
Conclusion

$G$ est situé aux $\frac{3}{4}$ du segment $[AI]$, avec $I$ tel que $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Construction de G par associativité

b)

Déterminer et construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tel que :

$$\|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = AC$$
✅ Solution détaillée
Rappel du cours

Propriété caractéristique : pour tout point $M$ du plan, si $G = \text{Bar}\{(A,\alpha);(B,\beta);(C,\gamma)\}$, alors $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC} = (\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}$.

D'après la propriété caractéristique du barycentre :
$$\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (1+2+1)\overrightarrow{MG} = 4\overrightarrow{MG}$$
Donc l'équation devient :
$$\|4\overrightarrow{MG}\| = AC = 6\text{ cm}$$
Or $\|4\overrightarrow{MG}\| = 4 \times MG$, donc en simplifiant :
$$4 \times MG = 6 \iff MG = \frac{6}{4} = 1.5\text{ cm}$$
Conclusion

L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $r = 1.5$ cm.

$$(E) = \mathcal{C}(G, 1.5)$$

Cercle (E) de centre G et rayon 1.5 cm

c)

Déterminer et construire l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tel que :

$$\|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}\|$$
✅ Solution détaillée
On pose : $G'$ le barycentre de $\{(A, 3); (C, 1)\}$.
La somme des poids est : $3 + 1 = 4 \neq 0$ ✅ donc $G'$ existe bien.
D'après la propriété caractéristique :
$$3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG'}$$
Et, comme à la question b) :
$$\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}$$
D'où, l'égalité de départ devient :
$$\|4\overrightarrow{MG}\| = \|4\overrightarrow{MG'}\| \iff MG = MG'$$
Or : $MG = MG'$ signifie que $M$ est équidistant de $G$ et de $G'$.
Conclusion

L'ensemble $(F)$ est la médiatrice du segment $[GG']$.

On a : $\overrightarrow{AG'} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.

Médiatrice de [GG']

Exercice 6 Exercice 8