Exercice 8 - Barycentre

1 Exercice 9 - Coordonnées

Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

Soient $A(-1; 1)$, $B(0; 2)$, $C(1; -1)$, $D(1; 0)$.

1)

Déterminer les coordonnées de $K = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 3)\}$.

✅ Solution

On a : $\alpha = 2$, $\beta = 3$, donc $\alpha + \beta = 5 \neq 0$ ✅ donc $K$ existe bien.

Abscisse $x_K$ :

$$x_K = \frac{2 \times (-1) + 3 \times 0}{2+3} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$$

Ordonnée $y_K$ :

$$y_K = \frac{2 \times 1 + 3 \times 2}{2+3} = \frac{2+6}{5} = \frac{8}{5}$$

Conclusion
                                    $$K\left(-\frac{2}{5}; \frac{8}{5}\right)$$
                                

2)

Déterminer les coordonnées de $L$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

✅ Solution

On a : le centre de gravité $L$ du triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A, 1); (B, 1); (C, 1)\}$.

Abscisse $x_L$ :

$$x_L = \frac{-1 + 0 + 1}{3} = 0$$

Ordonnée $y_L$ :

$$y_L = \frac{1 + 2 + (-1)}{3} = \frac{2}{3}$$

Conclusion
                                    $$L\left(0; \frac{2}{3}\right)$$
                                

3)

Déterminer les coordonnées de $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 3); (C, 1); (D, -1)\}$.

✅ Solution

On a : $\alpha = 2$, $\beta = 3$, $\gamma = 1$, $\delta = -1$.
Somme des poids : $s = 2+3+1-1 = 5 \neq 0$ ✅ donc $G$ existe bien.

Abscisse $x_G$ :

$$x_G = \frac{2(-1) + 3(0) + 1(1) + (-1)(1)}{5} = \frac{-2+0+1-1}{5} = -\frac{2}{5}$$

Ordonnée $y_G$ :

$$y_G = \frac{2(1) + 3(2) + 1(-1) + (-1)(0)}{5} = \frac{2+6-1+0}{5} = \frac{7}{5}$$

Conclusion
                                    $$G\left(-\frac{2}{5}; \frac{7}{5}\right)$$
                                

Position de K, L et G dans le repère

2 Exercice 10 - Barycentre de 4 points

$ABCD$ est un quadrilatère convexe.

1)

Soit $H$ le barycentre de $\{(A, 2); (B, 5); (C, -1)\}$.
Soit $K$ le barycentre de $\{(B, 5); (C, -1); (D, 6)\}$.
Soit $E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}$.

Montrer que $\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$.

✅ Solution

On a : $E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}$.
La somme des poids est : $-1 + 5 = 4 \neq 0$ ✅ donc $E$ existe bien.

D'après la propriété caractéristique : pour tout point $M$ :

$$-\overrightarrow{MC} + 5\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{ME}$$

En posant $M = B$ :

$$-\overrightarrow{BC} + \vec{0} = 4\overrightarrow{BE}$$

D'où :

$$\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$$

Conclusion

$E$ est situé à $\frac{1}{4}$ de $BC$ à partir de $B$ dans le sens opposé.

2)

Montrer que $H$ est le barycentre de $\{(A, 1); (E, 2)\}$.

✅ Solution

On a : $H = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 5); (C, -1)\}$, et $E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}$ de poids total $-1+5=4$.

D'après l'associativité : on remplace $(B, 5)$ et $(C, -1)$ par $(E, 4)$ :

$$H = \text{Bar}\{(A, 2); (E, 4)\}$$

Or : un barycentre reste inchangé si on multiplie tous les poids par un même réel non nul. En divisant les poids par $2$ :

$$H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}$$

Conclusion
                                    $$H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}$$
                                

3)

Montrer que $K$ est le barycentre de $\{(E, 2); (D, 3)\}$.

✅ Solution

On a : $K = \text{Bar}\{(B, 5); (C, -1); (D, 6)\}$.

Or : on a déjà établi que $E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}$, de poids total $4$.

D'après l'associativité : on regroupe $(B, 5)$ et $(C, -1)$ en $(E, 4)$ :

$$K = \text{Bar}\{(E, 4); (D, 6)\}$$

En divisant les poids par $2$ :

$$K = \text{Bar}\{(E, 2); (D, 3)\}$$

Conclusion

$K = \text{Bar}\{(E, 2); (D, 3)\}$, donc $K \in (ED)$ avec $\overrightarrow{EK} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{ED}$.

Quadrilatère ABCD, points E, H et K

3 Exercice 11 - Alignement

$ABC$ est un triangle. $I$, $J$, $K$ sont des points tels que :

$$2\overrightarrow{BI} = 3\overrightarrow{BC}, \quad 3\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CA}, \quad 5\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB}$$

1)

Montrer que $I$ est le barycentre de $\left(B; \frac{1}{2}\right)$ et $\left(C; -\frac{3}{2}\right)$.

✅ Solution

Rappel du cours

Pour montrer que $I = \text{Bar}\{(B;\alpha);(C;\beta)\}$, il suffit de vérifier que $\alpha\overrightarrow{IB} + \beta\overrightarrow{IC} = \vec{0}$ (ou, de façon équivalente, $\alpha\overrightarrow{BI} + \beta\overrightarrow{CI}$ ramené au même résultat).

On a : $2\overrightarrow{BI} = 3\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

Calculons : $\frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CI}$. D'après la relation de Chasles ($\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI}$) :

$$\frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI})$$

En développant :

$$= \frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{BI} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$$

Or $\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ (question précédente), donc :

$$-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BC} = \vec{0}$$

Conclusion
                                    $$I = \text{Bar}\left\{\left(B; \frac{1}{2}\right); \left(C; -\frac{3}{2}\right)\right\}$$
                                

2)

Dans le repère $R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$, montrer que $I$, $J$, $K$ sont alignés.

✅ Solution

On se place dans le repère $R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ :
$A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$.

D'après la question 1) : $I$ est le barycentre de $\left(B; \frac{1}{2}\right)$ et $\left(C; -\frac{3}{2}\right)$, donc :

$$x_I = \frac{\frac{1}{2} \times 1 + (-\frac{3}{2}) \times 0}{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -\frac{1}{2}$$ $$y_I = \frac{\frac{1}{2} \times 0 + (-\frac{3}{2}) \times 1}{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{-1} = \frac{3}{2}$$

De même, pour $K$ : $5\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, donc :
$K\left(\frac{2}{5}; 0\right)$

Et pour $J$ : $3\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, donc :
$J\left(0; 1 - \frac{1}{3}\right) = J\left(0; \frac{2}{3}\right)$

Vérifions que $J \in (IK)$ :
Équation de $(IK)$ : $5x + 3y - 2 = 0$
$5(0) + 3\left(\frac{2}{3}\right) - 2 = 2 - 2 = 0$ ✅

Conclusion

Les points $I$, $J$, $K$ sont alignés.

Alignement des points I, J, K