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Exercice 6

Réduction d'écriture - Ensembles de points Niveau : Difficile

1 Énoncé

Soit $ABC$ un triangle. Pour tout point $M$, on pose :

$$V = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}$$
1)

Réduire l'écriture de $V$ et montrer que $V$ ne dépend pas du point $M$.

✅ Solution détaillée
On a :
$$V = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}$$
D'après la relation de Chasles : on exprime chaque vecteur à partir de $M$ :
$$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}$$
En remplaçant :
$$V = 2\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) - 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC})$$
En développant :
$$V = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{AC}$$
En regroupant les termes :
$$V = (2 + 1 - 3)\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = 0 \times \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$$
D'où :
$$V = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$$
Conclusion

$V$ est un vecteur constant (indépendant de $M$).

$$V = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$$
2)

Soit $K = \text{Bar}\{(C, -3); (B, 1)\}$.
Montrer que $V = 2\overrightarrow{KA}$.

✅ Solution détaillée
On a : $K = \text{Bar}\{(C, -3); (B, 1)\}$, donc par définition :
$$-3\overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KB} = \vec{0} \ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC} = \vec{0}$$
D'après la propriété caractéristique du barycentre : pour tout point $M$ :
$$-3\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} = (-3 + 1)\overrightarrow{MK} = -2\overrightarrow{MK}$$
Or : $V = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$ (d'après la question 1). Exprimons $V$ en fonction de $K$, avec la relation de Chasles ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC}$) :
$$V = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB} - 3(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KC}) = -2\overrightarrow{AK} + (\overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC})$$
Or, d'après l'étape 1 : $\overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC} = \vec{0}$, donc :
$$V = -2\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{KA}$$
Conclusion
$$V = 2\overrightarrow{KA}$$
3)

Soit $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -1); (C, -3)\}$.
Montrer que pour tout point $M$ :

$$2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM}$$
✅ Solution détaillée
On a : $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -1); (C, -3)\}$.
La somme des poids est : $2 + (-1) + (-3) = -2 \neq 0$ ✅ donc $G$ existe bien.
D'après la propriété caractéristique du barycentre : pour tout point $M$ :
$$2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = (2 - 1 - 3)\overrightarrow{MG} = -2\overrightarrow{MG}$$
Or : $-2\overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GM}$, d'où le résultat.
Conclusion
$$2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM}$$
4)

En déduire l'ensemble des points $M$ tels que :

$$\|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}\| = \|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}\|$$
✅ Solution détaillée
D'après la question 3) :
$$2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM}$$
Et, d'après la question 2) : $V = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{KA}$.
L'égalité de départ devient donc :
$$\|2\overrightarrow{GM}\| = \|2\overrightarrow{KA}\|$$
En simplifiant :
$$2 \| \overrightarrow{GM} \| = 2 \| \overrightarrow{KA} \| \iff \| \overrightarrow{GM} \| = \| \overrightarrow{KA} \|$$
D'où : $GM = KA$ (distance constante).
Conclusion

L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $r = KA$.

$$(C) = \mathcal{C}(G, KA)$$

Cercle de centre G et de rayon KA

Exercice 5 Exercice 7