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Exercice 3

Coordonnées - Ensemble de points (Cercle) Niveau : Moyen

1 Énoncé

Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

Soient $A(0; 5)$ et $B(3; 2)$ deux points du plan.

Soit $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2)\}$.

Déterminer les coordonnées du point $G$.

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Si $G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$, alors :

$$x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}$$

On a : $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2)\}$, donc $\alpha = 1$ et $\beta = 2$.

Vérification : $\alpha + \beta = 1 + 2 = 3 \neq 0$ ✅
Donc $G$ existe bien.

Abscisse $x_G$ :

$$x_G = \frac{1 \times 0 + 2 \times 3}{1 + 2} = \frac{0 + 6}{3} = 2$$

Ordonnée $y_G$ :

$$y_G = \frac{1 \times 5 + 2 \times 2}{1 + 2} = \frac{5 + 4}{3} = 3$$

Conclusion

D'où les coordonnées de $G$ :

$$G(2; 3)$$

Déterminer et dessiner l'ensemble suivant :

$$(C) = \left\{ M \in (P) \mid \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \| = 6 \right\}$$

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Propriété caractéristique du barycentre : pour tout point $M$ du plan,

$$\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (1+2)\overrightarrow{MG} = 3\overrightarrow{MG}$$

On a : $(C) = \left\{ M \in (P) \mid \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \| = 6 \right\}$

D'après la propriété caractéristique : $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MG}$, donc la condition devient :

$$\|3\overrightarrow{MG}\| = 6$$

Or : $\|3\overrightarrow{MG}\| = 3\|\overrightarrow{MG}\|$, donc :

$$3 \| \overrightarrow{MG} \| = 6 \iff \| \overrightarrow{MG} \| = 2$$

D'où : $\| \overrightarrow{MG} \| = 2 \iff MG = 2$.
Donc $M$ est à une distance constante $2$ du point fixe $G$.

Conclusion

L'ensemble $(C)$ est le cercle de centre $G(2; 3)$ et de rayon $r = 2$ :

$$(C) = \mathcal{C}(G, 2)$$

Cercle $\mathcal{C}(G, 2)$ de centre G(2;3) et de rayon r=2

Exercice 2 Exercice 4