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Exercice 4

Barycentre de trois points Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $G$ un point tel que :

$$2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB}$$
1)

Montrer que $G$ est le barycentre du système pondéré :

$$\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}$$
✅ Solution détaillée
On a :
$$2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB}$$
On regroupe tout dans un seul membre :
$$2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$$
D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}$, donc :
$$2(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}) - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$$
En développant :
$$2\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{GC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$$
En simplifiant :
$$-\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = \vec{0}$$
Or $-\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GA}$, donc :
$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = \vec{0}$$
Ainsi, on retrouve la définition du barycentre :
$$1 \times \overrightarrow{GA} + 1 \times \overrightarrow{GB} + 2 \times \overrightarrow{GC} = \vec{0}$$
Conclusion

$G$ est donc le barycentre du système pondéré :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}$$
2)

Construire le point $G$.

✅ Solution détaillée
Rappel du cours

Si $G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)\}$ avec $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$, alors :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AB} + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AC}$$
On a : $\alpha = 1$, $\beta = 1$, $\gamma = 2$.
Somme des poids : $s = \alpha+\beta+\gamma = 1 + 1 + 2 = 4 \neq 0$ ✅
D'après la formule :
$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
Construction (par associativité du barycentre) :
  • On place d'abord $J = \text{Bar}\{(B,1);(C,2)\}$, c.-à-d. $\overrightarrow{BJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ ($J$ n'est pas le milieu de $[BC]$, car $B$ et $C$ ont des poids différents)
  • Par associativité : $G = \text{Bar}\{(A,1); (J,3)\}$, donc $\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AJ}$
Construction

D'où $G$ est situé aux $\frac{3}{4}$ de $[AJ]$, avec $J$ aux $\frac{2}{3}$ de $[BC]$ (à partir de $B$).

Construction du barycentre G de {(A,1);(B,1);(C,2)}

Exercice 3 Exercice 5