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Exercice 2

Point d'intersection de deux droites Niveau : Facile

1 Énoncé

Soient $E$ et $F$ deux points du plan et $G$ le point tel que : $\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}$.

On sait de plus que $G$ est le barycentre des points $(A; 2)$ et $(B; -3)$.

Montrer que $G$ est le barycentre des points $(E; -1)$ et $(F; 2)$.

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Pour montrer que $G = \text{Bar}\{(E, \alpha); (F, \beta)\}$, on doit obtenir une relation de la forme $\alpha\overrightarrow{GE} + \beta\overrightarrow{GF} = \vec{0}$.

On a : $\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}$

D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GF}$, donc :

$$\overrightarrow{EG} = 2(\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GF}) = 2\overrightarrow{EG} + 2\overrightarrow{GF}$$

D'où : en regroupant les termes :

$$\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{GF} = \vec{0} \ \Leftrightarrow\ -\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{GF} = \vec{0}$$

Or $-\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{GE}$, donc :

$$\overrightarrow{GE} - 2\overrightarrow{GF} = \vec{0} \ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{GE} = 2\overrightarrow{GF}$$

Ainsi : on obtient la relation barycentrique :

$$-1\overrightarrow{GE} + 2\overrightarrow{GF} = \vec{0}$$

Conclusion

$G$ est donc le barycentre du système pondéré :

$$G = \text{Bar}\{(E, -1); (F, 2)\}$$

En déduire que les droites $(EF)$ et $(AB)$ se coupent et déterminer le point d'intersection.

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Le barycentre de deux points appartient toujours à la droite définie par ces deux points.

D'après la question 1) : $G$ est le barycentre des points $(E; -1)$ et $(F; 2)$.
Or le barycentre de deux points est toujours aligné avec ces deux points, donc $G \in (EF)$.

Et : $G$ est aussi le barycentre des points $(A; 2)$ et $(B; -3)$.
De même, donc $G \in (AB)$.

Puisque : $G \in (EF)$ et $G \in (AB)$, alors les deux droites ont un point commun :
$(EF) \cap (AB) = \{G\}$.

Conclusion

Les droites $(EF)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles : elles se coupent au point $G$.

Les droites (EF) et (AB) se coupent en G

Exercice 1 Exercice 3