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Exercice 1

Coordonnées du barycentre Niveau : Facile

1 Énoncé

Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

Soient $A(3;2)$ et $B(4;1)$ deux points du plan. Soit $G$ le barycentre du système pondéré :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, -5)\}$$

Déterminer les coordonnées du point $G$.

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Si $G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$, alors :

$$x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}$$

On a : $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, -5)\}$, donc $\alpha = 1$ et $\beta = -5$.

Vérification : $\alpha + \beta = 1 + (-5) = -4 \neq 0$ ✅
Donc $G$ existe bien.

Abscisse $x_G$ :

$$x_G = \frac{1 \times 3 + (-5) \times 4}{1 + (-5)} = \frac{3 - 20}{-4} = \frac{-17}{-4} = \frac{17}{4}$$

Ordonnée $y_G$ :

$$y_G = \frac{1 \times 2 + (-5) \times 1}{1 + (-5)} = \frac{2 - 5}{-4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$

Conclusion

D'où les coordonnées de $G$ :

$$G\left(\frac{17}{4}; \frac{3}{4}\right)$$

Position du point G dans le repère

Vérifier que $G$ est aligné avec $A$ et $B$.

✅ Solution détaillée

Rappel du cours

Le barycentre de deux points $A$ et $B$ appartient toujours à la droite $(AB)$. Pour le prouver, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

On a : $A(3;2)$, $B(4;1)$ et $G\left(\frac{17}{4}; \frac{3}{4}\right)$.

Vecteur $\overrightarrow{AG}$ :

$$\overrightarrow{AG} = \left(\frac{17}{4} - 3;\ \frac{3}{4} - 2\right) = \left(\frac{5}{4};\ -\frac{5}{4}\right)$$

Vecteur $\overrightarrow{AB}$ :

$$\overrightarrow{AB} = (4 - 3;\ 1 - 2) = (1;\ -1)$$

Or :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{5}{4} \times \overrightarrow{AB} = \frac{5}{4}(1;\ -1) = \left(\frac{5}{4};\ -\frac{5}{4}\right)$$

Donc $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires ($\overrightarrow{AG} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AB}$).

Conclusion

Les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $G$ et $B$ sont alignés.

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