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Exercice 6

Tracteur - Grandes et petites roues Niveau : Difficile

1 Énoncé

La roue est une des plus belles inventions de l'homme. Nous allons étudier ses caractéristiques : son mouvement et sa vitesse dans le cas d'un tracteur agricole sous forme de jouet. Lorsque le tracteur se déplace à vitesse constante rectilignement, on compte le nombre de tours effectués par chaque roue pendant une minute grâce à un petit caillou blanc volontairement coincé sur chacun des pneus.

La grande roue de $7\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $18$ tours à la minute.
La petite roue de $3,5\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $36$ tours à la minute.

Tracteur - Grandes et petites roues

Calculer la vitesse angulaire de chaque roue. Quelle remarque faites-vous ?

✅ Solution

On a : pour chaque roue, il faut d'abord convertir la fréquence de tr/min en tr/s (= Hz), puis utiliser $\omega = 2\pi N$.
Grande roue : $N_G = 18\text{ tr/min} = \dfrac{18}{60} = 0,3\text{ tr/s}$

$$\omega_G = 2\pi N_G = 2\pi \times 0,3 \approx 1,88\text{ rad/s}$$

De même : petite roue : $N_P = 36\text{ tr/min} = \dfrac{36}{60} = 0,6\text{ tr/s}$

$$\omega_P = 2\pi N_P = 2\pi \times 0,6 \approx 3,77\text{ rad/s}$$

💡 Remarque : $\omega_P \approx 2\,\omega_G$ — la petite roue tourne deux fois plus vite que la grande (elle a un rayon deux fois plus petit, mais avance à la même vitesse — voir question 3).

Calculer la distance parcourue par les deux pierres à chaque tour de roue.

✅ Solution

On a : à chaque tour complet, une pierre coincée sur le pneu parcourt exactement le périmètre du cercle décrit, c'est-à-dire $d = 2\pi R$.
Grande roue $(R_G = 7\text{ cm} = 0,07\text{ m})$ :

$$d_G = 2\pi R_G = 2\pi \times 0,07 \approx 0,44\text{ m}$$

De même : petite roue $(R_P = 3,5\text{ cm} = 0,035\text{ m})$ :

$$d_P = 2\pi R_P = 2\pi \times 0,035 \approx 0,22\text{ m}$$

💡 $d_G \approx 2\,d_P$ — à chaque tour, la petite roue avance deux fois moins qu'un tour de la grande roue.

Calculer la vitesse de chaque roue par rapport au sol. Conclure.

✅ Solution

On a : pour un point situé sur la périphérie d'une roue, la vitesse linéaire par rapport au sol est $v = R \cdot \omega$.
Grande roue :

$$v_G = R_G \cdot \omega_G = 0,07 \times 1,88 \approx 0,132\text{ m/s}$$

De même : petite roue :

$$v_P = R_P \cdot \omega_P = 0,035 \times 3,77 \approx 0,132\text{ m/s}$$

💡 Conclusion : $v_G = v_P$ — les deux roues avancent à la même vitesse par rapport au sol. C'est logique : le tracteur se déplace en ligne droite à vitesse constante, donc toutes ses roues ont la même vitesse linéaire (seule leur vitesse angulaire diffère selon leur rayon).

Quelle est pendant une minute :
• La distance parcourue par le tracteur.
• La distance parcourue par chaque pierre.
• Le nombre de tours effectués par chaque roue.

✅ Solution

On a : $t = 1\text{ min} = 60\text{ s}$ et $v = v_G = v_P \approx 0,132\text{ m/s}$ (question 3).
Le tracteur avance en ligne droite à vitesse constante ⟹ la distance parcourue par le tracteur est aussi celle parcourue par chaque pierre :

$$d = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$

D'où : le nombre de tours $n$ effectués pendant $t$, en utilisant $\omega = \dfrac{2\pi n}{t}$, c'est-à-dire $n = \dfrac{\omega \times t}{2\pi}$ :
Petite roue : $n_P = \dfrac{\omega_P \times t}{2\pi} = \dfrac{3,77 \times 60}{2\pi} \approx 36$ tours
Grande roue : $n_G = \dfrac{\omega_G \times t}{2\pi} = \dfrac{1,88 \times 60}{2\pi} \approx 18$ tours

                                Conclusion
                                Distance parcourue : \(7,92\text{ m}\)
Petite roue : \(36\) tours
Grande roue : \(18\) tours

                            

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