Série 1 - Travail et puissance d'une force

1 Exercice 1

Un morceau de savon de masse $m = 200\text{ g}$ glisse sans frottement sur un plan incliné d'un angle de $30^\circ$ par rapport à l'horizontale.

Donnée : $g = 9,8\text{ N.kg}^{-1}$

Savon glissant sur un plan incliné sans frottement

1)

Quelles sont les forces exercées sur le morceau de savon ?

✅ Solution

$\vec{P}$ : Poids du savon (vertical vers le bas).
$\vec{R}$ : Réaction normale du plan (perpendiculaire au plan).

Remarque

Le savon glisse sans frottement, donc il n'y a pas de force de frottement.

2)

Calculer le travail de ces forces pour un déplacement égal à $L = 1,0\text{ m}$.

✅ Solution

On a : $\vec{R}$ est toujours perpendiculaire au déplacement $\vec{L}$, donc :

$$W(\vec{R}) = \vec{R} \cdot \vec{L} = 0\text{ J}$$

De même : le travail du poids $\vec{P}$ :

$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h$$

Or, la dénivellation :

$$h = L \cdot \sin\alpha \quad \Rightarrow \quad W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot L \cdot \sin\alpha$$

D'où : par application numérique :

$$W(\vec{P}) = 200 \times 10^{-3} \times 9,8 \times 1,0 \times \sin(30^\circ) \approx 0,98\text{ J}$$

Réponse

$W(\vec{R}) = 0\text{ J}$, $W(\vec{P}) \approx 0,98\text{ J}$ (travail moteur)

3)

Calculer la puissance moyenne du travail du poids si la durée du trajet est $\Delta t = 1,5\text{ s}$.

✅ Solution

On a, par définition : la puissance moyenne :

$$P_m = \frac{W(\vec{P})}{\Delta t}$$

D'où : par application numérique :

$$P_m = \frac{0,98}{1,5} \approx 0,65\text{ W}$$

Réponse

$P_m \approx 0,65\text{ W}$

2 Exercice 2

Un pendule simple se met à osciller de part et d'autre de sa position d'équilibre $G_0$ après l'avoir écarté de $G_0$ d'un angle $\alpha_m = 10^\circ$.

Le pendule est constitué d'une bille de masse $m = 5,0\text{ g}$ et d'un fil, de masse négligeable, de longueur $L = 40\text{ cm}$.

Données : $g = 9,8\text{ N.kg}^{-1}$ ; on négligera les frottements.

Toute l'étude se fera du point $G$ (départ) au point $G_0$ (arrivée).

Pendule simple - Oscillation

1)

Faire le bilan des forces appliquées sur la bille.

✅ Solution

$\vec{P}$ : Poids de la bille
$\vec{T}$ : Tension du fil

2)

Quelle est la valeur du travail de la tension du fil ? Justifier.

✅ Solution

Or : lors du mouvement, $\vec{T}$ reste toujours perpendiculaire au déplacement de la bille, donc :

$$W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \vec{GG_0} = T \cdot GG_0 \cdot \cos 90^\circ = 0$$

Réponse

$W(\vec{T}) = 0\text{ J}$ : la tension ne travaille pas.

3)

Trouver l'expression littérale du travail du poids $\vec{P}$. En déduire sa valeur. Donner sa nature.

✅ Solution

On a : le travail du poids :

$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h$$

Or, la hauteur $h$ vaut :

$$h = L - L\cos\alpha_m = L(1 - \cos\alpha_m) \quad \Rightarrow \quad W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot L \cdot (1 - \cos\alpha_m)$$

D'où : par application numérique :

$$W(\vec{P}) = 5,0 \times 10^{-3} \times 9,8 \times 40 \times 10^{-2} \times (1 - \cos 10^\circ)$$ $$W(\vec{P}) \approx 3,0 \times 10^{-4}\text{ J} = 0,3\text{ mJ}$$

Conclusion

$W(\vec{P}) \approx 0,3\text{ mJ} > 0$ : travail moteur.

3 Exercice 3

Un ballon de masse $m = 300\text{ g}$ tombe en chute libre d'une hauteur de $h = 5,0\text{ m}$. La chute dure $\Delta t = 1,0\text{ s}$.

Donnée : $g = 9,8\text{ N.kg}^{-1}$

Chute libre d'un ballon

1)

Quelle est la signification de « chute libre » ?

✅ Solution

Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P}$.

2)

Calculer le travail effectué par le poids $\vec{P}$ pendant cette chute libre.

✅ Solution

On a : le travail du poids lors d'une chute d'une hauteur $h$ :

$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h$$

D'où : par application numérique :

$$W(\vec{P}) = 300 \times 10^{-3} \times 9,8 \times 5,0 = 14,7\text{ J} \approx 15\text{ J}$$

Réponse

$W(\vec{P}) \approx 15\text{ J}$

3)

Calculer la puissance moyenne du poids.

✅ Solution

On a, par définition : la puissance moyenne :

$$P_m = \frac{W(\vec{P})}{\Delta t}$$

D'où : par application numérique :

$$P_m = \frac{14,7}{1,0} \approx 15\text{ W}$$

Réponse

$P_m \approx 15\text{ W}$

4 Exercice 4

Un enfant tire un camion en bois à l'aide d'une petite corde. Le travail effectué pendant une demi-minute est égal à $2,0\text{ kJ}$.

Calculer la puissance moyenne de cette force exercée sur le camion.

Enfant tirant un camion

Solution

✅ Solution

On a : en convertissant le temps en secondes :

$$\Delta t = \frac{1}{2}\text{ min} = 0,5 \times 60 = 30\text{ s}$$

De même : en convertissant le travail en joules :

$$W = 2,0\text{ kJ} = 2,0 \times 10^3\text{ J}$$

D'où, par définition : la puissance moyenne :

$$P_m = \frac{W}{\Delta t} = \frac{2,0 \times 10^3}{30} \approx 67\text{ W}$$

Réponse

$P_m \approx 67\text{ W}$

5 Exercice 5

Un petit traîneau est tiré par une personne à l'aide d'un câble parallèle au sol. La vitesse du traîneau est constante. Le sol est incliné d'un angle $\alpha = 20^\circ$ par rapport à l'horizontale.

Masse du traîneau : $m = 50\text{ kg}$, $g = 10\text{ m.s}^{-2}$.

On néglige les forces de frottement.

Traîneau tiré sur un plan incliné

1)

Faire le bilan des forces exercées sur le traîneau.

✅ Solution

$\vec{P}$ : Poids (vertical vers le bas)
$\vec{R}$ : Réaction normale du sol
$\vec{F}$ : Force de traction (parallèle au plan)

2)

Trouver la valeur de la force de traction $F$.

✅ Solution

On a : la vitesse du traîneau étant constante, d'après le principe d'inertie :

$$\sum \vec{F} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{P} + \vec{R} + \vec{F} = \vec{0}$$

En projetant sur l'axe parallèle au plan :

$$F - m \cdot g \cdot \sin\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad F = m \cdot g \cdot \sin\alpha$$

D'où : par application numérique :

$$F = 50 \times 10 \times \sin(20^\circ) \approx 171\text{ N}$$

Réponse

$F \approx 171\text{ N}$

3)

Trouver la valeur de la réaction normale du sol $R$.

✅ Solution

On a, en projetant sur l'axe perpendiculaire au plan :

$$R - m \cdot g \cdot \cos\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad R = m \cdot g \cdot \cos\alpha$$

D'où : par application numérique :

$$R = 50 \times 10 \times \cos(20^\circ) \approx 470\text{ N}$$

Réponse

$R \approx 470\text{ N}$

6 Exercice 6

Un skieur de masse $m = 80\text{ kg}$ avec son équipement est tiré par une remonte-pente.

Plan incliné de $\alpha = 20^\circ$, force de frottement $f = 40\text{ N}$. La perche exerce une force $\vec{F}$ sous un angle $\beta = 15^\circ$ par rapport à la pente. Le skieur monte à vitesse constante.

Donnée : $g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}$

Skieur tracté par une perche

1)

Représenter les forces extérieures sur le skieur.

✅ Solution

$\vec{P}$ : Poids (vertical vers le bas)
$\vec{f}$ : Frottement (parallèle à la pente, vers le bas)
$\vec{R}$ : Réaction normale du sol
$\vec{F}$ : Force de la perche (angle $\beta$ avec la pente)

2)

Déterminer la valeur de la force $\vec{F}$.

✅ Solution

On a : le skieur monte à vitesse constante, donc d'après le principe d'inertie :

$$\sum \vec{F} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{P} + \vec{R} + \vec{f} + \vec{F} = \vec{0}$$

En projetant sur l'axe parallèle à la pente :

$$F\cos\beta - m \cdot g \cdot \sin\alpha - f = 0 \quad \Rightarrow \quad F = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha + f}{\cos\beta}$$

D'où : par application numérique :

$$F = \frac{80 \times 9,81 \times \sin(20^\circ) + 40}{\cos(15^\circ)} \approx 319\text{ N}$$

Réponse

$F \approx 319\text{ N}$

3)

Déterminer la valeur de la réaction normale $R$.

✅ Solution

On a, en projetant sur l'axe perpendiculaire à la pente :

$$R + F\sin\beta - m \cdot g \cdot \cos\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad R = m \cdot g \cdot \cos\alpha - F \cdot \sin\beta$$

D'où : par application numérique, avec $F \approx 319\text{ N}$ trouvée précédemment :

$$R = 80 \times 9,81 \times \cos(20^\circ) - 319 \times \sin(15^\circ) \approx 655\text{ N}$$

Réponse

$R \approx 655\text{ N}$