Série 1 - Rotation d'un solide

1 Exercice 1

Une roche est attachée au bout d'une corde mesurant $1,00\text{ m}$. Si on lui fait décrire un mouvement circulaire uniforme, quelle distance parcourt-elle en $10,0$ tours ?

Solution

✅ Solution détaillée

🔹 Rappel : dans un mouvement circulaire, chaque tour complet correspond à une distance égale au périmètre du cercle décrit. Si $R$ est le rayon de la trajectoire (ici, la longueur de la corde) :

$$P = 2\pi R$$

Avec $R = 1,00\text{ m}$

➜ Donc, pour $n$ tours effectués, la distance totale parcourue $d$ est $n$ fois le périmètre :

$$d = n \times 2\pi R$$

Application numérique : avec $n = 10,0$ tours et $R = 1,00\text{ m}$ :

$$d = 10 \times 2\pi \times 1,00$$

$$d = 62,8\text{ m}$$

Conclusion
                                    $$d = 62,8\text{ m}$$
                                

Trajectoire circulaire de la roche au bout de la corde (R = 1,00 m)

2 Exercice 2

Un point P est situé à une distance $R$ du centre O d'une roue. Quelle est la valeur de cette distance $R$ si le point P parcourt en $1,0$ tour une distance de $3,0\text{ m}$ ?

Solution

✅ Solution détaillée

🔹 On a : la distance parcourue par le point P en un seul tour est égale au périmètre du cercle de rayon $R$ :

$$d = 2\pi R$$

➜ On isole donc $R$ :

$$R = \frac{d}{2\pi}$$

Application numérique : avec $d = 3,0\text{ m}$ :

$$R = \frac{3,0}{2\pi} = 0,477\text{ m}$$

Conclusion
                                    $$R \approx 0,48\text{ m}$$
                                

Point P sur la roue : un tour complet correspond à d = 3,0 m

3 Exercice 3

Une roue en mouvement circulaire uniforme effectue $20,0$ tours en $8,0\text{ s}$.

a)

Quelle est la fréquence du mouvement ?

✅ Solution

🔹 Rappel : la fréquence $N$ d'un mouvement circulaire uniforme représente le nombre de tours effectués par seconde. Si le solide effectue $n$ tours pendant une durée $\Delta t$ :

$$N = \frac{n}{\Delta t}$$

Application numérique : avec $n = 20,0$ tours et $\Delta t = 8,0\text{ s}$ :

$$N = \frac{20}{8} = 2,5\text{ Hz}$$

Conclusion
                                    $$N = 2,5\text{ Hz}$$
                                

b)

Quelle est la période du mouvement circulaire ?

✅ Solution

🔹 Rappel : la période $T$ est la durée d'un seul tour ; elle est, par définition, l'inverse de la fréquence :

$$T = \frac{1}{N}$$

Application numérique : avec $N = 2,5\text{ Hz}$ (question a) :

$$T = \frac{1}{2,5} = 0,4\text{ s}$$

Conclusion
                                    $$T = 0,4\text{ s}$$
                                

4 Exercice 4

Un CD de $12\text{ cm}$ de diamètre tourne à la fréquence de $215$ tours par minute.

4.1)

Déterminer la période de rotation du CD.

✅ Solution

🔹 On a : la fréquence est donnée en tours par minute (tr/min) ; il faut d'abord la convertir en Hz (tours par seconde), sachant que $1\text{ min} = 60\text{ s}$ :

$$N = 215\text{ tr/min} = \frac{215}{60} = 3,58\text{ Hz}$$

➜ Donc, la période, inverse de la fréquence, vaut :

$$T = \frac{1}{N} = \frac{60}{215} = 0,279\text{ s}$$

Conclusion
                                    $$T = 0,28\text{ s}$$
                                

4.2)

Déterminer la vitesse angulaire de rotation du CD.

✅ Solution

🔹 Rappel : la vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s) est liée à la fréquence $N$ par la relation :

$$\omega = 2\pi N$$

Application numérique : avec $N = 3,58\text{ Hz}$ (question précédente) :

$$\omega = 2\pi \times 3,58 = 22,5\text{ rad/s}$$

Conclusion
                                    $$\omega = 22,5\text{ rad/s}$$
                                

4.3)

Déterminer la vitesse linéaire d'un point de la périphérie du disque.

✅ Solution

🔹 On a : un point situé sur le bord (la périphérie) du CD tourne à la même distance que le rayon du disque : $R = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm} = 0,06\text{ m}$

➜ Or, la vitesse linéaire $v$ d'un point situé à une distance $R$ de l'axe est liée à la vitesse angulaire $\omega$ par :

$$v = R \cdot \omega = 0,06 \times 22,5 = 1,35\text{ m/s}$$

Conclusion
                                    $$v = 1,35\text{ m/s}$$
                                

4.4)

Déterminer la vitesse linéaire d'un point situé à $2,0\text{ cm}$ du centre du CD.

✅ Solution

🔹 On a : tous les points du CD tournent avec la même vitesse angulaire $\omega = 22,5\text{ rad/s}$, quelle que soit leur position sur le disque. Ici, $R' = 2,0\text{ cm} = 0,02\text{ m}$

➜ Donc, la vitesse linéaire de ce point vaut :

$$v' = R' \cdot \omega = 0,02 \times 22,5 = 0,45\text{ m/s}$$

Conclusion

$$v' = 0,45\text{ m/s}$$

Remarque : $v' < v$, car plus un point est proche de l'axe, plus sa vitesse linéaire est faible — bien que la vitesse angulaire soit la même pour tous les points.

Vitesse linéaire en fonction du rayon (v = R·ω)

5 Exercice 5

Une scie circulaire d'un diamètre de $50\text{ cm}$ tourne à vitesse angulaire constante. La vitesse linéaire d'une de ses dents est $v = 36\text{ m/s}$.

5.1)

Quelle est la distance parcourue par une dent pendant $3\text{ min}$ ?

✅ Solution

🔹 On a : $v = 36\text{ m/s}$ et $t = 3\text{ min} = 180\text{ s}$ (conversion : $3 \times 60 = 180\text{ s}$)

➜ Or, à vitesse constante, la distance parcourue est le produit de la vitesse par le temps :

$$d = v \times t = 36 \times 180 = 6480\text{ m}$$

Conclusion
                                    $$d = 6480\text{ m} = 6,48\text{ km}$$
                                

5.2)

Calculer la vitesse angulaire de la scie.

✅ Solution

🔹 On a : le diamètre $D = 50\text{ cm} = 0,50\text{ m}$, donc le rayon vaut la moitié : $R = 0,25\text{ m}$

➜ Or, $v = R \cdot \omega$, d'où l'on isole $\omega$ :

$$\omega = \frac{v}{R} = \frac{36}{0,25} = 144\text{ rad/s}$$

Conclusion
                                    $$\omega = 144\text{ rad/s}$$
                                

5.3)

En déduire sa fréquence.

✅ Solution

🔹 On sait que $\omega = 2\pi N$, donc en isolant $N$ et en utilisant $\omega = 144\text{ rad/s}$ (question précédente) :

$$N = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{144}{2\pi} = 22,9\text{ Hz}$$

Conclusion
                                    $$N = 22,9\text{ Hz}$$
                                

Scie circulaire : vitesse linéaire d'une dent en périphérie

6 Exercice 6

Un tracteur agricole (jouet) possède deux roues :

La grande roue de $7\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $18$ tours par minute.
La petite roue de $3,5\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $36$ tours par minute.

1)

Calculer la vitesse angulaire de chaque roue. Quelle remarque faites-vous ?

✅ Solution

🔹 Rappel : il faut convertir la fréquence de tr/min vers rad/s, en utilisant $1\text{ min} = 60\text{ s}$ et $\omega = 2\pi N$.

▸ Grande roue : $R_g = 7\text{ cm}$, à $18$ tr/min

$$\omega_g = \frac{18}{60} \times 2\pi = 0,3 \times 2\pi = 1,88\text{ rad/s}$$

▸ Petite roue : $R_p = 3,5\text{ cm}$, à $36$ tr/min

$$\omega_p = \frac{36}{60} \times 2\pi = 0,6 \times 2\pi = 3,77\text{ rad/s}$$

Remarque

On a $\omega_p = 2\,\omega_g$ : la petite roue tourne deux fois plus vite (en vitesse angulaire) que la grande roue.

2)

Calculer la distance parcourue par les deux pierres à chaque tour de roue.

✅ Solution

🔹 On a : à chaque tour complet, une roue de rayon $R$ fait parcourir à un point de son bord une distance égale à son périmètre $d = 2\pi R$.

▸ Grande roue : $R_g = 7\text{ cm} = 0,07\text{ m}$

$$d_g = 2\pi R_g = 2\pi \times 0,07 = 0,44\text{ m}$$

▸ Petite roue : $R_p = 3,5\text{ cm} = 0,035\text{ m}$

$$d_p = 2\pi R_p = 2\pi \times 0,035 = 0,22\text{ m}$$

Remarque

Comme $R_g = 2\,R_p$, la petite roue avance deux fois moins que la grande roue à chaque tour.

3)

Calculer la vitesse de chaque roue par rapport au sol. Conclure.

✅ Solution

🔹 On a : $v = R \cdot \omega$ — la vitesse linéaire d'un point du bord d'une roue.

▸ Grande roue :

$$v_g = R_g \cdot \omega_g = 0,07 \times 1,88 = 0,132\text{ m/s}$$

▸ Petite roue :

$$v_p = R_p \cdot \omega_p = 0,035 \times 3,77 = 0,132\text{ m/s}$$

Conclusion

On trouve $v_g = v_p$ : les deux roues avancent à la même vitesse par rapport au sol, bien que la petite roue tourne (en $\omega$) deux fois plus vite. C'est logique : le tracteur avance d'un seul bloc, donc toutes ses roues doivent avoir la même vitesse linéaire.

4)

Pendant une minute :

La distance parcourue par le tracteur.
La distance parcourue par chaque pierre.
Le nombre de tours effectués par chaque roue.

✅ Solution

🔹 On a : $v = 0,132\text{ m/s}$ (question précédente, commune aux deux roues) et $t = 1\text{ min} = 60\text{ s}$

▸ Distance parcourue par le tracteur :

$$d = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$

➜ Or, chaque point du bord d'une roue (donc chaque pierre) avance à la même vitesse que le tracteur lui-même :

$$s = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$

▸ Nombre de tours : le nombre de tours effectués pendant $t$ est $n = \dfrac{\omega \times t}{2\pi}$

Petite roue : $n_p = \dfrac{3,77 \times 60}{2\pi} = 36$ tours
Grande roue : $n_g = \dfrac{1,88 \times 60}{2\pi} = 18$ tours

                                Conclusion
                                Distance parcourue : \(7,92\text{ m}\)
Petite roue : \(36\) tours
Grande roue : \(18\) tours

                            

Comparaison des deux roues du tracteur : même vitesse linéaire au sol

Série 1 - Rotation d'un solide indéformable autour d'un axe fixe

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6