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Partie 3 : Vitesse angulaire moyenne - Vitesse angulaire instantanée

Table des matières

1 Vitesse angulaire moyenne

Lorsqu'un corps est en mouvement autour d'un axe fixe $(\Delta)$, le point M occupe la position M₁ à l'instant t₁ et la position M₂ à l'instant t₂.

Position de M à t₁ et t₂

Définition

La vitesse angulaire moyenne $\omega_m$ du point M entre t₁ et t₂ est donnée par :

$$\omega_m = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1}$$

$\Delta \theta$ est l'angle de rotation du solide pendant la durée $\Delta t$.

L'unité de la vitesse angulaire dans le (SI) est le radian par seconde (rad/s).

Remarques
  • La vitesse angulaire moyenne est une grandeur algébrique.
  • Son signe indique le sens de rotation :
    • $\omega_m > 0$ : rotation dans le sens direct (trigonométrique)
    • $\omega_m < 0$ : rotation dans le sens indirect (horaire)
📝 Exemple

Un point M tourne autour d'un axe fixe. À l'instant $t_1 = 0.2\text{ s}$, son abscisse angulaire est $\theta_1 = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$. À l'instant $t_2 = 0.8\text{ s}$, son abscisse angulaire est $\theta_2 = \frac{\pi}{2}\text{ rad}$.

✅ Solution détaillée
$$\omega_m = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1} = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}}{0.8 - 0.2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{0.6} = \frac{\pi}{1.8} \approx 1.75\text{ rad/s}$$

2 Vitesse angulaire instantanée

Définition

En considérant $t_{i-1}$ et $t_{i+1}$ deux instants très proches encadrant l'instant $t_i$.

La vitesse angulaire instantanée à l'instant $t_i$ est la vitesse angulaire moyenne entre $t_{i+1}$ et $t_{i-1}$ :

$$\omega_i = \frac{\theta_{i+1} - \theta_{i-1}}{t_{i+1} - t_{i-1}}$$

Vitesse angulaire instantanée à l'instant tᵢ

Propriété

La vitesse angulaire instantanée est la dérivée de l'abscisse angulaire par rapport au temps :

$$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}$$
Remarque
  • Si le mouvement est uniforme, la vitesse angulaire est constante : $\omega = \text{constante}$.
  • Si le mouvement est varié, la vitesse angulaire varie avec le temps.
📝 Exemple

On donne les positions angulaires d'un point M en rotation :

t (s)00.10.20.30.4
θ (rad)00.310.630.941.26

Calculons la vitesse angulaire instantanée à $t = 0.2\text{ s}$ :

✅ Solution détaillée
$$\omega_{0.2} = \frac{\theta_{0.3} - \theta_{0.1}}{0.3 - 0.1} = \frac{0.94 - 0.31}{0.2} = \frac{0.63}{0.2} = 3.15\text{ rad/s}$$
Résumé
  • Vitesse angulaire moyenne : $\omega_m = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$
  • Vitesse angulaire instantanée : $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
  • Unité : radian par seconde (rad/s)
  • Relation avec la vitesse linéaire : $v = r \cdot \omega$

3 Relation entre vitesse angulaire et vitesse linéaire

Propriété

La vitesse linéaire $v$ d'un point M situé à une distance $r$ de l'axe de rotation est liée à la vitesse angulaire $\omega$ par la relation :

$$v = r \cdot \omega$$
Démonstration
Étape 1 : On a $s = r \cdot \theta$
Étape 2 : On dérive par rapport au temps : $$\frac{ds}{dt} = r \cdot \frac{d\theta}{dt}$$
Étape 3 : Or $\frac{ds}{dt} = v$ et $\frac{d\theta}{dt} = \omega$
Étape 4 : Donc $v = r \cdot \omega$
📝 Exemple

Un point M tourne sur un cercle de rayon $r = 0.5\text{ m}$ avec une vitesse angulaire $\omega = 4\text{ rad/s}$.

✅ Solution détaillée
$$v = r \cdot \omega = 0.5 \times 4 = 2\text{ m/s}$$
À retenir
  • La vitesse linéaire $v$ est proportionnelle à la vitesse angulaire $\omega$.
  • Le coefficient de proportionnalité est le rayon $r$.
  • Tous les points du solide ont la même vitesse angulaire $\omega$.
  • La vitesse linéaire $v$ dépend du rayon (distance à l'axe).

Relation v = r · ω

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