Série 2 - Généralités sur les fonctions

3 Fonction impaire

Soit la fonction définie par : $5f(x) + f(-x) = 2x^3 - 3x$ pour tout réel x.

1)

Montrer que f est une fonction impaire

✅ Solution

On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$5f(x) + f(-x) = 2x^3 - 3x \quad \text{...(1)}$$

On remplace $x$ par $-x$ dans (1) :

$$5f(-x) + f(x) = 2(-x)^3 - 3(-x) = -2x^3 + 3x \quad \text{...(2)}$$

On obtient donc le système :

$$\begin{cases} 5f(x) + f(-x) = 2x^3 - 3x & \text{...(1)} \\ f(x) + 5f(-x) = -2x^3 + 3x & \text{...(2)} \end{cases}$$

On multiplie (1) par $5$ :

$$25f(x) + 5f(-x) = 10x^3 - 15x \quad \text{...(3)}$$

On calcule (3) − (2), pour éliminer $f(-x)$ :

$$\big[25f(x) + 5f(-x)\big] - \big[f(x) + 5f(-x)\big] = (10x^3 - 15x) - (-2x^3 + 3x)$$

En simplifiant les deux membres :

$$24f(x) = 12x^3 - 18x = 6(2x^3 - 3x)$$

D'où :

$$f(x) = \frac{6(2x^3-3x)}{24} = \frac{2x^3 - 3x}{4}$$

Calculons maintenant $f(-x)$ :

$$f(-x) = \frac{2(-x)^3 - 3(-x)}{4} = \frac{-2x^3 + 3x}{4} = -\left(\frac{2x^3-3x}{4}\right) = -f(x)$$

Ainsi : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = -f(x)$.

Conclusion : $f$ est impaire.

2)

Donner une expression de f(x) pour tout réel x

✅ Solution

D'après la question précédente :

$f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x}{4}$

Conclusion : $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x}{4}$

4 Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Soit la fonction définie par : $f(x) = \dfrac{|x|+1}{2|x|-3}$ et $(C_f)$ sa courbe.

1)

Montrer que $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

✅ Solution

On a : $f(-x) = \dfrac{|-x|+1}{2|-x|-3} = \dfrac{|x|+1}{2|x|-3} = f(x)$

Conclusion : $f$ est paire, donc $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

5 Variations des fonctions affines et homographiques

Étudier les variations des fonctions suivantes :

1)

$f(x) = 7x - 5$

✅ Solution

On a : $f'(x) = 7 > 0$

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2)

$g(x) = \dfrac{2}{x}$

✅ Solution

On a : $D_g = \mathbb{R}^*$

D'où : $g'(x) = -\dfrac{2}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$

Conclusion : $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

$g(x) = \dfrac{2}{x}$

6 Variations de $f(x) = 3x^2 + 2$

1)

Étudier les variations de $f(x) = 3x^2 + 2$

✅ Solution

On a : $D_f = \mathbb{R}$

Donc : $f'(x) = 6x$

D'où : Tableau de variations :

$x$	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$f'(x)$	−	$0$	+
$f(x)$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$.

$f(x) = 3x^2 + 2$

7 Variations de $g(x) = \dfrac{x}{x+1}$

1)

Étudier les variations de $g(x) = \dfrac{x}{x+1}$

✅ Solution

On a : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

D'où : $g'(x) = \dfrac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$

Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,+\infty[$.

$g(x) = \dfrac{x}{x+1}$

8 Taux d'accroissement et variations

Soit f une fonction définie par : $f(x) = x+1$

1)

Déterminer $D_f$ et étudier la parité de f

✅ Solution

On a : $D_f = \mathbb{R}$

D'où : $f(-x) = -x+1 \neq f(x)$ et $\neq -f(x)$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$, $f$ n'est ni paire ni impaire.

2)

Calculer le taux d'accroissement T entre $x_1$ et $x_2$

✅ Solution

On a : $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{(x_2+1) - (x_1+1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{x_2 - x_1}{x_2 - x_1} = 1$

Conclusion : $T = 1$ (constant)

3)

Étudier les variations de f sur I = ]0;1] puis sur J = [1; +∞[

✅ Solution

D'où : $T = 1 > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur tout intervalle.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et sur $[1;+\infty[$.

4)

En déduire les variations de f sur $D_f$

✅ Solution

$D_f = \mathbb{R}$ et $f$ est strictement croissante sur tous les intervalles.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

5)

Dresser le tableau de variations de f sur $D_f$

✅ Solution

$x$	$-\infty$	$+\infty$
$f(x)$	$\nearrow$

Conclusion : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

9 Variations de fonctions

Étudier les variations des fonctions suivantes :

1)

$k(x) = \dfrac{6}{x}$

✅ Solution

On a : $D_k = \mathbb{R}^*$

D'où : $k'(x) = -\dfrac{6}{x^2} < 0$

Conclusion : $k$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

2)

$f(x) = x^2$

✅ Solution

On a : $D_f = \mathbb{R}$

D'où : $f'(x) = 2x$

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$.

3)

$g(x) = -\dfrac{1}{2}x^2$

✅ Solution

On a : $D_g = \mathbb{R}$

D'où : $g'(x) = -x$

Conclusion : $g$ est croissante sur $]-\infty,0]$ et décroissante sur $[0,+\infty[$.

4)

$h(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 5$

✅ Solution

On a : $D_h = \mathbb{R}$

D'où : $h'(x) = -x$

Conclusion : $h$ est croissante sur $]-\infty,0]$ et décroissante sur $[0,+\infty[$.

10 Égalité de fonctions

Les fonctions f et g définies par $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}$ et $g(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}}$ sont-elles égales ?

1)

Sont-elles égales ?

✅ Solution

On a : $f$ et $g$ ont la même expression $\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}$

Donc : domaine de $f$ : il faut $\dfrac{x-1}{x+3} \ge 0$

D'où : tableau de signe :

$x$	$-\infty$	$-3$		$1$	$+\infty$
$x-1$	−	−	−	0	+
$x+3$	−	0	+	+	+
Quotient	+	\|\|	−	0	+

Donc : $D_f = ]-\infty, -3[ \cup [1, +\infty[$. Domaine de $g$ : il faut $x-1 \ge 0$ et $x+3 > 0$, soit $x \ge 1$ et $x > -3$, donc $D_g = [1, +\infty[$

Conclusion : Bien que $f(x)=g(x)$ pour tout $x \in D_g$, les domaines de définition sont différents ($D_f \neq D_g$), donc $f$ et $g$ ne sont pas égales.