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Partie 5 : Exercices

Fonctions 5 exercices

Table des matières

1 Fonction majorée - minorée - bornée

1. Montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ :

a) $f(x) = -x^2 + 2x$, $M = 1$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est majorée par $M=1$, on doit prouver que : $f(x) \le 1,\ \forall x \in \mathbb{R}$.

On a $\forall x \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = -x^2+2x = -(x^2-2x) = -(x^2-2x+1)+1 \quad \text{(on complète le carré)}$$ $$\text{d'où}\quad f(x) = -(x-1)^2+1$$
Or $(x-1)^2 \ge 0 \ \Rightarrow\ -(x-1)^2 \le 0 \ \Rightarrow\ -(x-1)^2+1 \le 1$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \le 1$, donc $f$ est majorée par $M=1$.

Courbe de $f(x) = -x^2 + 2x$ majorée par $M=1$

b) $f(x) = \frac{3x^2+2}{x^2+1}$, $M = 3$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est majorée par $M=3$, on doit prouver que : $f(x) \le 3,\ \forall x \in \mathbb{R}$.

On a $\forall x \in \mathbb{R}$, en écrivant $3x^2+2 = 3(x^2+1)-1$ : $$f(x) = \frac{3x^2+2}{x^2+1} = \frac{3(x^2+1)-1}{x^2+1} = 3 - \frac{1}{x^2+1}$$
Or $\dfrac{1}{x^2+1} \ge 0 \ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{x^2+1} \le 0 \ \Rightarrow\ 3-\dfrac{1}{x^2+1} \le 3$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \le 3$, donc $f$ est majorée par $M=3$.

2. Montrer que la fonction $f$ est minorée par $m$ :

a) $f(x) = x^2 + 4x$, $m = -4$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est minorée par $m=-4$, on doit prouver que : $f(x) \ge -4,\ \forall x \in \mathbb{R}$.

On a $\forall x \in \mathbb{R}$, en complétant le carré : $$f(x) = x^2+4x = (x^2+4x+4)-4 = (x+2)^2-4$$
Or $(x+2)^2 \ge 0 \ \Rightarrow\ (x+2)^2-4 \ge -4$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -4$, donc $f$ est minorée par $m=-4$.

2 Extremums d'une fonction

Soit $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Montrer que $f(-1)$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
✅ Solution

Pour montrer que $f(-1)$ est le minimum de $f$, on doit prouver que : $f(x) \ge f(-1),\ \forall x \in \mathbb{R}$.

On a $\forall x \in \mathbb{R}$, en complétant le carré : $$f(x) = x^2+2x+3 = (x^2+2x+1)+2 = (x+1)^2+2$$ et $f(-1) = (-1+1)^2+2 = 0+2 = 2$.
Or $(x+1)^2 \ge 0 \ \Rightarrow\ (x+1)^2+2 \ge 2 \ \Rightarrow\ f(x) \ge 2 = f(-1)$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)\ge f(-1)$, donc $f(-1) = 2$ est le minimum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Minimum de $f(x) = x^2 + 2x + 3$ en $(-1, 2)$

3 Variations d'une fonction

Déterminer les variations de la fonction $f$ :

1) $f(x) = x^2 + \sqrt{2}$
✅ Solution

Soient $x,x' \in \mathbb{R}$, avec $x \neq x'$. On calcule le taux d'accroissement :

$$T_f = \frac{f(x)-f(x')}{x-x'} = \frac{x^2-x'^2}{x-x'} = \frac{(x-x')(x+x')}{x-x'} = x+x'$$
• Si $x,x' \in\ ]-\infty,0]$, alors $x+x' \le 0$, donc $T_f \le 0$ ;
• Si $x,x' \in [0,+\infty[$, alors $x+x' \ge 0$, donc $T_f \ge 0$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$.

Parabole $f(x) = x^2 + \sqrt{2}$

2) $f(x) = x^3 - 5$
✅ Solution

Soient $x,x' \in \mathbb{R}$, avec $x \neq x'$. En utilisant l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ :

$$T_f = \frac{x^3-x'^3}{x-x'} = x^2+xx'+x'^2$$
Or $x^2+xx'+x'^2 = \left(x+\dfrac{x'}{2}\right)^2 + \dfrac{3x'^2}{4} \ge 0$, avec égalité seulement si $x=x'=0$ ; comme $x \neq x'$, on a $T_f > 0$.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3) $f(x) = \frac{8}{x}$
✅ Solution

$D_f = \mathbb{R}^*$. Soient $x,x'$ de même signe, non nuls, avec $x \neq x'$ :

$$T_f = \frac{\frac{8}{x}-\frac{8}{x'}}{x-x'} = \frac{8(x'-x)}{xx'(x-x')} = -\frac{8}{xx'}$$
Or, sur $]-\infty,0[$ comme sur $]0,+\infty[$, on a $xx' > 0$, donc $T_f = -\dfrac{8}{xx'} < 0$.

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

4) $f(x) = -3\sqrt{x-3} + 5$
✅ Solution

$D_f = [3,+\infty[$. Soient $x,x' \in D_f$, avec $x \neq x'$ :

$$T_f = \frac{-3\sqrt{x-3}+3\sqrt{x'-3}}{x-x'} = -3\cdot\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{x'-3}}{x-x'}$$
En multipliant par l'expression conjuguée, $\sqrt{x-3}-\sqrt{x'-3} = \dfrac{x-x'}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x'-3}}$, d'où : $$T_f = -\frac{3}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x'-3}}$$
Or $x \neq x' \ \Rightarrow\ \sqrt{x-3}$ et $\sqrt{x'-3}$ ne sont pas nuls en même temps, donc $\sqrt{x-3}+\sqrt{x'-3} > 0$, d'où $T_f < 0$.

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $[3,+\infty[$.

5) $f(x) = x^2 - 6$
✅ Solution

Soient $x,x' \in \mathbb{R}$, avec $x \neq x'$. Comme à la question 1, on a $T_f = \dfrac{x^2-x'^2}{x-x'} = x+x'$.

• Sur $]-\infty,0]$ : $x+x' \le 0 \ \Rightarrow\ T_f \le 0$ ;
• Sur $[0,+\infty[$ : $x+x' \ge 0 \ \Rightarrow\ T_f \ge 0$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$.

6) $f(x) = \frac{-\sqrt{3}+1}{x}$
✅ Solution

Posons $k = -\sqrt{3}+1$ ; comme $\sqrt{3}\approx 1{,}73 > 1$, on a $k < 0$.

Soient $x,x'$ de même signe, non nuls, avec $x \neq x'$. Comme à la question 3 :

$$T_f = \frac{\frac{k}{x}-\frac{k}{x'}}{x-x'} = -\frac{k}{xx'}$$
Or, sur $]-\infty,0[$ comme sur $]0,+\infty[$, on a $xx' > 0$ ; et comme $k<0$, alors $-k>0$, donc $T_f = \dfrac{-k}{xx'} > 0$.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

7) $f(x) = \sqrt{x-5} + 6$
✅ Solution

$D_f = [5,+\infty[$. Soient $x,x' \in D_f$, avec $x \neq x'$ :

$$T_f = \frac{\sqrt{x-5}-\sqrt{x'-5}}{x-x'}$$ En multipliant par l'expression conjuguée : $$T_f = \frac{1}{\sqrt{x-5}+\sqrt{x'-5}}$$
Or $x \neq x' \ \Rightarrow\ \sqrt{x-5}+\sqrt{x'-5} > 0$, donc $T_f > 0$.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $[5,+\infty[$.

8) $f(x) = -6x^3 + 9$
✅ Solution

Soient $x,x' \in \mathbb{R}$, avec $x \neq x'$ :

$$T_f = \frac{-6x^3+6x'^3}{x-x'} = -6\cdot\frac{x^3-x'^3}{x-x'} = -6(x^2+xx'+x'^2)$$
Or, comme à la question 2, $x \neq x' \ \Rightarrow\ x^2+xx'+x'^2 > 0$, donc $T_f = -6(x^2+xx'+x'^2) < 0$.

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

4 Composée de fonctions

Déterminer $D_{g \circ f}$, $D_{f \circ g}$ et les expressions :

1) $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$

$g \circ f(x) = g(f(x)) = (x^2)^3 = x^6$

$f \circ g(x) = f(g(x)) = (x^3)^2 = x^6$

$D_{g \circ f} = D_{f \circ g} = \mathbb{R}$

2) $f(x)=x^2-5$, $g(x)=\frac{1}{x}$

$g \circ f(x) = \frac{1}{x^2-5}$

$D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{\pm\sqrt{5}\}$

$f \circ g(x) = \frac{1}{x^2} - 5$

$D_{f \circ g} = \mathbb{R}^*$

3) $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2$

$g \circ f(x) = (\sqrt{x})^2 = x$

$D_{g \circ f} = [0,+\infty[$

$f \circ g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$

$D_{f \circ g} = \mathbb{R}$

4) $f(x)=\sqrt{x-8}$, $g(x)=x^3$

$g \circ f(x) = (\sqrt{x-8})^3 = (x-8)^{3/2}$

$D_{g \circ f} = [8,+\infty[$

$f \circ g(x) = \sqrt{x^3-8}$

$D_{f \circ g} = [2,+\infty[$

5 Monotonie de la composée

En utilisant la monotonie de la composée :

1) $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ sur $I=\mathbb{R}^+$, $J=\mathbb{R}^-$
✅ Solution

On pose $f = v \circ u$ avec $u(x) = x^2+1$ et $v(t) = \sqrt{t}$.

On a $u(x) = x^2+1$ décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$, et $v(t) = \sqrt{t}$ croissante sur $\mathbb{R}^+ = D_v$.
Or $u(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}^+ = D_v$ ; d'après la règle de composition de la monotonie (même sens $\Rightarrow$ composée dans le même sens que $u$, sens contraire $\Rightarrow$ composée en sens contraire de $u$) :
• $u$ décroissante & $v$ croissante $\Rightarrow$ $v\circ u$ décroissante sur $\mathbb{R}^-$ ;
• $u$ croissante & $v$ croissante $\Rightarrow$ $v\circ u$ croissante sur $\mathbb{R}^+$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$.

2) $f(x) = \frac{1}{x^2+3}$ sur $I=\mathbb{R}^+$, $J=\mathbb{R}^-$
✅ Solution

On pose $f = v \circ u$ avec $u(x) = x^2+3$ et $v(t) = \dfrac{1}{t}$.

On a $u(x) = x^2+3$ décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$, et $v(t) = \dfrac{1}{t}$ décroissante sur $\mathbb{R}^{+*} \supset u(\mathbb{R})$.
Or, $u$ et $v$ ont des sens de variation opposés sur chaque intervalle :
• $u$ décroissante & $v$ décroissante $\Rightarrow$ $v\circ u$ croissante sur $\mathbb{R}^-$ ;
• $u$ croissante & $v$ décroissante $\Rightarrow$ $v\circ u$ décroissante sur $\mathbb{R}^+$.

Conclusion : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^-$ et décroissante sur $\mathbb{R}^+$.

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