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Résumé complet : Barycentre dans le plan

Table des matières

1 Vocabulaire et définitions

📌 Système pondéré
  • Un point pondéré est un couple $(A, a)$ où $A$ est un point et $a$ est un poids (nombre réel).
  • Un système pondéré est un ensemble de points pondérés : $S = \{(A,a), (B,b), (C,c), ...\}$
📌 Barycentre

Soit $S = \{(A_1, a_1), (A_2, a_2), ..., (A_n, a_n)\}$ avec $\sum_{i=1}^{n} a_i \neq 0$.

Le barycentre de $S$ est l'unique point $G$ tel que :

$a_1\overrightarrow{GA_1} + a_2\overrightarrow{GA_2} + ... + a_n\overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}$
Le barycentre est une moyenne pondérée des points.
📌 Isobarycentre

Un isobarycentre est un barycentre dont tous les poids sont égaux.

Exemple : Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre de ses sommets.

2 Barycentre de deux points

📌 Définition

Soient $(A,a)$ et $(B,b)$ deux points pondérés avec $a+b \neq 0$.

Le barycentre $G$ est l'unique point tel que :

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
📌 Formule fondamentale
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$
$G$ est situé sur la droite $(AB)$.
📌 Cas particuliers
  • Si $a = b$ : $G$ est le milieu de $[AB]$.
  • Si $\dfrac{b}{a+b} > 0$ : $G$ est entre $A$ et $B$.
  • Si $\dfrac{b}{a+b} < 0$ : $G$ est à l'extérieur du segment $[AB]$.

3 Barycentre de trois points

📌 Définition

Soient $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$ avec $a+b+c \neq 0$.

Le barycentre $G$ est l'unique point tel que :

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
📌 Formule fondamentale
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$
Généralisation de la formule à trois points.
📌 Centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A,1), (B,1), (C,1)\}$.

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$ où $A'$ est le milieu de $[BC]$
Le centre de gravité est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de la médiane.

4 Barycentre de quatre points

📌 Définition

Soient $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$, $(D,d)$ avec $a+b+c+d \neq 0$.

Le barycentre $G$ est l'unique point tel que :

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} + d\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
📌 Isobarycentre d'un parallélogramme

Le centre $O$ d'un parallélogramme $ABCD$ est l'isobarycentre de $A, B, C, D$.

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

5 Propriétés communes

📌 Invariance

Si $G$ est barycentre de $S$, alors pour tout $k \in \mathbb{R}^*$, $G$ est aussi barycentre du système dont les poids sont multipliés par $k$.

$\{(A, a), (B, b), ...\} \iff \{(A, ka), (B, kb), ...\}$
On peut multiplier tous les poids par un même nombre non nul.
📌 Propriété caractéristique

$G$ est barycentre de $S$ ssi pour tout point $M$ du plan :

$a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}$
Utile pour transformer des sommes de vecteurs.
📌 Associativité

On peut remplacer plusieurs points par leur barycentre.

Exemple : Si $G_1$ est barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$, alors le barycentre de $(G_1, a+b)$ et $(C,c)$ est le même que celui de $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$.

6 Coordonnées du barycentre

📌 Formule générale

Soit $G$ barycentre de $\{(A_1, a_1), (A_2, a_2), ..., (A_n, a_n)\}$.

$x_G = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} a_i x_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} a_i}$    et    $y_G = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} a_i y_{A_i}}{\sum_{i=1}^{n} a_i}$
Les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées des coordonnées.
📌 Exemple pour 2 points

Pour $G$ barycentre de $\{(A,a), (B,b)\}$ :

$x_G = \dfrac{ax_A + bx_B}{a+b}$    et    $y_G = \dfrac{ay_A + by_B}{a+b}$
📌 Exemple pour 3 points

Pour $G$ barycentre de $\{(A,a), (B,b), (C,c)\}$ :

$x_G = \dfrac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$    et    $y_G = \dfrac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}$

7 Déterminer l'ensemble des points (Méthode)

⚠️ Type d'exercice incontournable au contrôle

C'est une question qui tombe systématiquement en devoir surveillé et à l'examen national.

Méthode générale

Pour déterminer l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant une égalité vectorielle, on utilise la propriété caractéristique du barycentre :

$$a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG} \quad \text{(avec } G \text{ barycentre de } \{(A,a), (B,b)\})$$

Puis on simplifie pour obtenir une équation de la forme :

  • $MG = r$ $\implies$ Cercle de centre $G$ et de rayon $r$.
  • $MG_1 = MG_2$ $\implies$ Médiatrice du segment $[G_1G_2]$.
  • $MG = 0$ $\implies$ Le point $M$ est confondu avec $G$.

📝 Cas 1 : $ \Vert a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} \Vert = k$

Exemple type

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$$\left\| 2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} \right\| = 12$$
Solution détaillée
Étape 1 : On identifie les poids : $a = 2$ et $b = 4$. On calcule $a+b = 2+4 = 6 \neq 0$.
Étape 2 : Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2), (B,4)\}$.
Étape 3 : D'après la propriété caractéristique :
$2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = (2+4)\overrightarrow{MG} = 6\overrightarrow{MG}$
Étape 4 : L'équation devient :
$\left\| 6\overrightarrow{MG} \right\| = 12 \iff 6\left\| \overrightarrow{MG} \right\| = 12 \iff \left\| \overrightarrow{MG} \right\| = 2$
Étape 5 : $\left\| \overrightarrow{MG} \right\| = 2$ signifie que la distance $MG = 2$.
Conclusion

L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $2$.

Notation : $\mathcal{C}(G, 2)$

📝 Cas 2 : $ \Vert a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} \Vert = \Vert c\overrightarrow{MC} + d\overrightarrow{MD} \Vert$

Exemple type

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$$\left\| 2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} \right\| = \left\| 4\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right\|$$
Solution détaillée
Étape 1 : Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2), (B,4)\}$. Alors $2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = 6\overrightarrow{MG}$.
Étape 2 : Soit $G'$ le barycentre de $\{(A,4), (B,2)\}$. Alors $4\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = 6\overrightarrow{MG'}$.
Étape 3 : L'équation devient :
$\left\| 6\overrightarrow{MG} \right\| = \left\| 6\overrightarrow{MG'} \right\| \iff 6 MG = 6 MG' \iff MG = MG'$
Étape 4 : $MG = MG'$ signifie que $M$ est équidistant de $G$ et $G'$.
Conclusion

L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[GG']$.

(C'est la droite perpendiculaire à $(GG')$ passant par son milieu)

📌 À retenir absolument
  • Objectif : Remplacer la somme vectorielle par un seul vecteur $\overrightarrow{MG}$ grâce au barycentre.
  • Résultat : On obtient toujours une équation de distance ($MG = r$ ou $MG_1 = MG_2$).
  • Interprétation géométrique :
    • $MG = r$ $\longrightarrow$ Cercle de centre $G$ et rayon $r$.
    • $MG_1 = MG_2$ $\longrightarrow$ Médiatrice du segment $[G_1G_2]$.
    • $MG = 0$ $\longrightarrow$ Point unique $M = G$.
  • Ne jamais oublier de vérifier que la somme des poids est non nulle ($\neq 0$) avant de parler de barycentre.

8 Tableau récapitulatif

Nombre de pointsConditionFormule
2 points$a+b \neq 0$$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$
3 points$a+b+c \neq 0$$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$
4 points$a+b+c+d \neq 0$Généralisation
n points$\sum a_i \neq 0$$\sum a_i\overrightarrow{GA_i} = \overrightarrow{0}$
PropriétéFormule
Invariance$\{(A,a), (B,b)\} \iff \{(A,ka), (B,kb)\}$
Caractéristique$a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}$
Centre de gravité$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
IsobarycentrePoids tous égaux
À retenir
  • Le barycentre existe si et seulement si la somme des poids est non nulle.
  • Le barycentre est unique.
  • Les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées.
  • L'associativité permet de simplifier les calculs.
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