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Partie 2 : Barycentre de trois points pondérés

Table des matières

1 Définition et théorème

Définition

Soient $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$ trois points pondérés du plan $(P)$.

Si $a+b+c \neq 0$, il existe un point unique $G$ de $(P)$ tel que :

$$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Le point $G$ s'appelle le barycentre du système pondéré $S = \{(A,a), (B,b), (C,c)\}$.

📐 Barycentre de trois points

$G$ barycentre de $\{(A,1), (B,2), (C,3)\}$

Démonstration :

$$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$ $$\iff (a+b+c)\overrightarrow{AG} = b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}$$ $$\iff \overrightarrow{AG} = \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$$

Le point $G$ est unique car $A$, $B$, $C$ sont fixes.

Résumé
  • Pour $a+b+c \neq 0$, $G$ est unique.
  • $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$.
  • Si $a+b+c = 0$, le barycentre n'existe pas.
📝 Exercice 1

Soit $G$ barycentre de $\{(A, 1), (B, 2), (C, 3)\}$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

✅ Solution détaillée
On a : $G$ barycentre de $\{(A,1), (B,2), (C,3)\}$, donc $a=1$, $b=2$, $c=3$.
Donc : $a+b+c = 1+2+3 = 6 \neq 0$, alors $G$ existe et il est unique.
D'après le théorème : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c} = \dfrac{2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{6}$
D'où : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
Conclusion

$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{6}$

(Le point $G$ est plus proche de $C$ car son poids $c=3$ est le plus grand)

2 Propriétés du barycentre de trois points

2-1 Invariance

Théorème

Si $G$ est barycentre de $S = \{(A,a), (B,b), (C,c)\}$, alors pour tout $k \in \mathbb{R}^*$, $G$ est aussi barycentre de $\{(A,ka), (B,kb), (C,kc)\}$.

Le barycentre ne change pas si on multiplie les poids par un même réel non nul.

2-2 Propriété caractéristique

Théorème

$G$ est barycentre de $\{(A,a), (B,b), (C,c)\}$ ssi :

$$a+b+c \neq 0 \quad \text{et} \quad \forall M \in (P) : a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}$$

📐 Propriété caractéristique

$a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}$

2-3 Associativité

Théorème

On peut remplacer deux points par leur barycentre.

Si $G_2$ est barycentre de $\{(A,a), (B,b)\}$, alors $G$ est barycentre de $\{(G_2, a+b), (C,c)\}$.

📐 Associativité du barycentre

$G_2$ barycentre de $\{(A,a), (B,b)\}$, $G$ barycentre de $\{(G_2, a+b), (C,c)\}$

Résumé
  • Invariance : multiplier les poids par $k \neq 0$.
  • Caractéristique : $a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}$.
  • Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre.
📝 Exercice 2

Soit $G$ barycentre de $\{(A, 2), (B, -1), (C, 3)\}$. Vérifier que $G$ est aussi barycentre de $\{(A, -4), (B, 2), (C, -6)\}$.

✅ Solution détaillée
On a : le premier système a pour poids $(2, -1, 3)$, et le second a pour poids $(-4, 2, -6)$.
On cherche $k$ tel que $(-4, 2, -6) = k(2, -1, 3)$.
On trouve : $k = -2$, car $(-2) \times 2 = -4$, $(-2) \times (-1) = 2$ et $(-2) \times 3 = -6$.
Or, d'après la propriété d'invariance, multiplier les poids par $k = -2 \neq 0$ ne change pas le barycentre.
Conclusion

$G$ est aussi barycentre de $\{(A, -4), (B, 2), (C, -6)\}$.

(Les deux systèmes ont le même barycentre $G$)

3 Centre de gravité d'un triangle

Définition

Le centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A,1), (B,1), (C,1)\}$.

$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Propriétés :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'} \quad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$

Et de même :

$$\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BB'} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CC'}$$

📐 Centre de gravité du triangle ABC

$G$ est le centre de gravité : $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$

Résumé
  • G est le barycentre de $\{(A,1), (B,1), (C,1)\}$.
  • $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$.
  • $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$.
📝 Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité. Montrer que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$.

✅ Solution détaillée
Par définition, le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A,1), (B,1), (C,1)\}$.
Donc, d'après la définition du barycentre :
$1 \times \overrightarrow{GA} + 1 \times \overrightarrow{GB} + 1 \times \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
D'où :
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
Conclusion

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

(Cette propriété caractérise le centre de gravité)

4 Coordonnées du barycentre

Propriété

Soit $G$ barycentre de $\{(A,a), (B,b), (C,c)\}$.

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées de $G$ sont :

$$x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c} \quad \text{et} \quad y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}$$

📐 Coordonnées du barycentre

$G\left(\frac{6}{5}, \frac{7}{5}\right)$ barycentre de $\{(A,3), (B,1), (C,1)\}$

Résumé
  • Les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées des coordonnées des points.
  • Généralisation à $n$ points.
📝 Exercice 4

Dans un repère, $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(-1,3)$. Déterminer les coordonnées du barycentre de $\{(A,3), (B,1), (C,1)\}$.

✅ Solution détaillée
On a : $a = 3$, $b = 1$, $c = 1$, donc $a+b+c = 3+1+1 = 5 \neq 0$ : $G$ existe.
D'après la formule des coordonnées, l'abscisse :
$x_G = \dfrac{3 \times 1 + 1 \times 4 + 1 \times (-1)}{5} = \dfrac{3 + 4 - 1}{5} = \dfrac{6}{5}$
De même, l'ordonnée :
$y_G = \dfrac{3 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 3}{5} = \dfrac{3 + 1 + 3}{5} = \dfrac{7}{5}$
Conclusion

$G\left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{7}{5}\right)$

(Le point $A$ a un poids plus grand, donc $G$ est plus proche de $A$)

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