Exercice 1

1) a)

Démontrer que $D$ est le barycentre du système : $(A,3)$ ; $(B,-2)$ ; $(C,3)$

✅ Solution détaillée

Rappel

Un point $G$ est le barycentre de $\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\}$ si et seulement si :

$$\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 1 : On veut montrer que $D$ est le barycentre de $\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$.
Il faut donc montrer que :

$$3\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 2 : On utilise la relation de Chasles en écrivant les vecteurs à partir de $A$ :

$$3(\overrightarrow{DA}) - 2(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$$

Étape 3 : On développe :

$$3\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{DA} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$(3 - 2 + 3)\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 4 : On sait que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ (relation de Chasles).
Donc : $3\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$

Étape 5 : On remplace :

$$4\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 6 : On multiplie par $-1$ :

$$-4\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$$

Étape 7 : C'est exactement la relation donnée dans l'énoncé ! ✅

Conclusion

$D$ est bien le barycentre du système pondéré :

$$D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$$

1) b)

En déduire que $D$ appartient à la médiatrice du segment $[AC]$.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : D'après la question 1) a), on a :

$$D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$$

Étape 2 : On utilise l'associativité du barycentre.
Soit $G_1 = \text{Bar}\{(A,3); (C,3)\}$.
La somme des poids est : $3 + 3 = 6$.

Étape 3 : Le barycentre de $(A,3)$ et $(C,3)$ est le milieu de $[AC]$.
Donc $G_1 = B'$ (puisque $B'$ est le milieu de $[AC]$).

Étape 4 : D'après l'associativité :

$$D = \text{Bar}\{(B',6); (B,-2)\}$$

Étape 5 : On simplifie par 2 :

$$D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$$

Étape 6 : La somme des poids est : $3 + (-1) = 2 \neq 0$.
Donc $D$ est sur la droite $(BB')$.

Étape 7 : Dans un triangle équilatéral, la médiane $[BB']$ est aussi la médiatrice de $[AC]$.

Conclusion

$D$ appartient à la droite $(BB')$, qui est la médiatrice du segment $[AC]$.

D appartient à la médiatrice de [AC]

2)

Démontrer que $BD = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$

✅ Solution détaillée

Rappel

Dans un triangle équilatéral de côté $a$, la hauteur (et médiane) a pour longueur :

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Étape 1 : D'après la question 1) b), $D \in (BB')$.
Donc les points $B$, $D$ et $B'$ sont alignés.

Étape 2 : On a $D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$.
La somme des poids est : $3 + (-1) = 2$.

Étape 3 : On calcule le rapport $\frac{BD}{BB'}$ en utilisant la propriété caractéristique du barycentre.
Pour $M = B'$ :

$$3\overrightarrow{B'B'} - 1\overrightarrow{B'B} = 2\overrightarrow{B'D}$$ $$-\overrightarrow{B'B} = 2\overrightarrow{B'D}$$ $$\overrightarrow{B'D} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{B'B} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$$

Étape 4 : On pose $M = B$ dans la propriété caractéristique du barycentre $D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$ :

$$3\overrightarrow{BB'} - 1\overrightarrow{BB} = 2\overrightarrow{BD}$$ $$3\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{BD}$$ $$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BB'}$$

Étape 5 : Donc $BD = \dfrac{3}{2} \times BB'$.

Étape 6 : $BB'$ est la hauteur du triangle équilatéral $ABC$ de côté $3$ :

$$BB' = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Conclusion
                                    $$BD = \frac{3}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$
                                

3)

Calculer $DA^2$ et $DB^2$

✅ Solution détaillée

Étape 1 : On a $4\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}\right)$.

Étape 2 : Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ :

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - AB^2 = 3 \times 3 \times \cos 60° - 9 = 4{,}5 - 9 = -4{,}5$$

Étape 3 : Calcul de $DA^2$ :

$$DA^2 = \frac{1}{16}\left|\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}\right|^2 = \frac{1}{16}\left(AB^2 + 9BC^2 + 6\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\right) = \frac{1}{16}\left(9 + 81 - 27\right) = \frac{63}{16}$$

Étape 4 : Calcul de $DB^2$ : on a $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}\right)$.

$$DB^2 = \frac{9}{16}\left(BC^2 + AB^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\right) = \frac{9}{16}\left(9 + 9 + 9\right) = \frac{9}{16} \times 27 = \frac{243}{16}$$

Conclusion
                                    $$DA^2 = \frac{63}{16} \quad \text{et} \quad DB^2 = \frac{243}{16}$$
                                

4)

Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ vérifiant la relation :

$$3MA^2 - 2MB^2 + 3MC^2 = 12$$

Vérifier que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ appartient à $(E)$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Pour $D = \text{Bar}\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\}$ :

$$\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 = (\alpha + \beta + \gamma) MD^2 + \alpha DA^2 + \beta DB^2 + \gamma DC^2$$

Étape 1 : On a $D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$, de somme des poids $3-2+3=4$.
Donc $3MA^2 - 2MB^2 + 3MC^2 = 4MD^2 + 3DA^2 - 2DB^2 + 3DC^2$.

Étape 2 : On a déjà $DA^2 = \frac{63}{16}$ et $DB^2 = \frac{243}{16}$.
Comme $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$ (question 1.b), on a $DC = DA$, donc $DC^2 = \frac{63}{16}$.

Étape 3 : On calcule $3DA^2 - 2DB^2 + 3DC^2$ :

$$3 \times \frac{63}{16} - 2 \times \frac{243}{16} + 3 \times \frac{63}{16} = \frac{189 - 486 + 189}{16} = -\frac{108}{16} = -\frac{27}{4}$$

Étape 4 : L'équation devient :

$$4MD^2 - \frac{27}{4} = 12$$ $$4MD^2 = \frac{48}{4} + \frac{27}{4} = \frac{75}{4}$$ $$MD^2 = \frac{75}{16}$$

Étape 5 : Donc $MD = \dfrac{\sqrt{75}}{4} = \dfrac{5\sqrt{3}}{4}$.

Conclusion

L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $D$ et de rayon $r = \frac{5\sqrt{3}}{4}$.

$$(E) = \mathcal{C}\left(D, \frac{5\sqrt{3}}{4}\right)$$

Vérification : $G$ appartient à $(E)$

Étape 1 : $G$ étant le centre de gravité (donc aussi le centre du cercle circonscrit) d'un triangle équilatéral de côté $3$ :

$$GA = GB = GC = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad GA^2 = GB^2 = GC^2 = 3$$

Étape 2 : On remplace directement dans la relation :

$$3GA^2 - 2GB^2 + 3GC^2 = 3 \times 3 - 2 \times 3 + 3 \times 3 = 9 - 6 + 9 = 12$$

Conclusion

La relation est vérifiée, donc $G \in (E)$.

1 Énoncé